निश्चित समाकलन प्रश्न 15
प्रश्न 15 - 30 जनवरी - विस्थापन 2
इसलिए, यह प्रत्येक प्राकृतिक संख्या ‘$n$’ के लिए सत्य है
$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{3}{n}\lbrace 4+(2+\frac{1}{n})^{2}+(2+\frac{2}{n})^{2}+\ldots+(3-\frac{1}{n})^{2}\rbrace $
बराबर है
(1) 12
(2) $\frac{19}{3}$
(3) 0
(4) 19
उत्तर दिखाएं
उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: निश्चित समाकलन के रूप में योग की सीमा , अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र
दिया गया है, $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{3}{n}\lbrace 4+(2+\frac{1}{n})^{2}+(2+\frac{2}{n})^{2}+\ldots+(3-\frac{1}{n})^{2}\rbrace $
$\Rightarrow L= \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3}{n}\lbrace 4+(2+\frac{1}{n})^{2}+(2+\frac{2}{n})^{2}+\ldots+(2+\frac{n-1}{n})^{2}\rbrace $
$L=\lim \limits_{n \to \infty} \frac{3}{n} \sum _{r=0}^{n-1}(2+\frac{r}{n})^{2}$
$L=3 \int_0^{1}(2+x)^{2} dx=27-8=19$
बीटा
