उत्तर: (2)

समाधान:

सूत्र: समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन , सबसे बड़े पूर्णांक फलन के गुणधर्म , गुणोत्तर श्रेणी में शब्दों का योग

दिया गया है, $\frac{3(e-1)}{e} \int _1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$

मान लीजिए $I = \int _1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx \qquad [ \because \ x \in (1,2) \Rightarrow [x]=1]$

$ \begin{aligned} & I = \int_1^{2} x^{2} e^{[x^{3}]+1} dx \\ & \text{प्रतिस्थापित करें} \ x^{3}=t \Rightarrow 3 x^{2} d x=d t \\ & I=\frac{e}{3} \int_1^{8} e^{[t]} dt \\ & I=\frac{e}{3}{\int_1^{2} edt+\int_2^{3} e^{2} dt+\ldots \ldots \ldots+\int_7^{8} e^{7} dt} \\ & I=\frac{e}{3}(e+e^{2}+\ldots \ldots \ldots+e^{7}) \\ & I=\frac{e^{2}}{3}(1+e+\ldots \ldots . .+e^{6}) \\ & I=\frac{e^{2}}{3} \frac{(e^{7}-1)}{(e-1)} \\ & \text {अब,}\\ & \frac{3(e-1)}{e} \times I =\frac{3}{e}(e-1) \times \frac{e^{2}}{3} \frac{(e^{7}-1)}{(e-1)} \\ & \frac{3(e-1)}{e} \times I =e(e^{7}-1) \\ & \frac{3(e-1)}{e} \times I =e^{8}-e \\ & \frac{3(e-1)}{e} \int_1^{2} x^{2} e^{[x]+[x^{3}]} dx=e^{8}-e \end{aligned} $