उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: क्षमता वाले विपरीत त्रिकोणमितीय फलन के गुण , अनिश्चित समाकलन के मानक सूत्र , समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन

$ I=\int _{1 / 2}^{2} \frac{\tan ^{-1} x}{x} d x \ldots (i) $

प्रतिस्थापन करें $\quad x=\frac{1}{t} \quad d x=-\frac{1}{t^{2}} d t$

$ \begin{aligned} & I=-\int_2^{1 / 2} \frac{\tan ^{-1} \frac{1}{t}}{\frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{t^{2}} dt=-\int_2^{1 / 2} \frac{\tan ^{-1} \frac{1}{t}}{t} dt \\ & I=\int _{1 / 2}^{2} \frac{\cot ^{-1} t}{t} dt=\int _{1 / 2}^{2} \frac{\cot ^{-1} x}{x} dx \ldots (ii) \end{aligned} $

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 2 I & =\int _{1 / 2}^{2} \frac{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}{x} d x=\frac{\pi}{2} \int _{1 / 2}^{2} \frac{d x}{x}=\frac{\pi}{2}(\ln x) _{1 / 2}^{2} \\ & =\frac{\pi}{2}(\ln 2-\ln \frac{1}{2})=\pi \ln 2 \\ & I=\frac{\pi}{2} \ln 2 \end{aligned} $