उत्तर: (2)

समाधान:

सूत्र: दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय फलन , निश्चित समाकलन के गुणधर्म

$f(x)=x+\int_0^{\pi / 2}(\sin x \cos y+\cos x \sin y) f(y) d y$

$f(x)=x+\int_0^{\pi / 2}((\cos y f(y) d y) \sin x+(\sin y f(y) d y) \cos x) \ldots (1)$

उपरोक्त से तुलना करने पर

$f(x)=x+\frac{a}{\pi^{2}-4} \sin x+\frac{b}{\pi^{2}-4} \cos x, x \in \mathbb{R}$ तो

$\Rightarrow \frac{a}{\pi^{2}-4}=\int_0^{\pi / 2} \cos y f(y) d y \ldots (2)$

$\Rightarrow \frac{b}{\pi^{2}-4}=\int_0^{\pi / 2} \sin y f(y) d y \ldots (3)$

(2) और (3) को जोड़ें

$\frac{a+b}{\pi^{2}-4}=\int_0^{\pi / 2}(\sin y+\cos y) f(y) d y \ldots (4)$

$\frac{a+b}{\pi^{2}-4}=\int_0^{\pi / 2}(\sin y+\cos y) f(\frac{\pi}{2}-y) d y \ldots (5)$

(4) और (5) को जोड़ें

$ \begin{aligned} \frac{2(a+b)}{\pi^{2}-4} & =\int_0^{\pi / 2}(\sin y+\cos y)(\frac{\pi}{2}+\frac{(a+b)}{\pi^{2}-4}(\sin y+\cos y)) d y \\ & =\pi+\frac{a+b}{\pi^{2}-4}(\frac{\pi}{2}+1) \\ (a+b) & =-2 \pi(\pi+2) \end{aligned} $