असततता और अवकलनीयता प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 25 जनवरी - विस्थापन 2
यदि फलन
$f(x)=\begin{array}{cc}(1+|\cos x|) \frac{\lambda}{|\cos x|}, & 0<x<\frac{\pi}{2} \\ \quad \quad \mu & , x=\frac{\pi}{2} \\ e^{\frac{\cot 6 x}{\cot 4 x}} & , \frac{\pi}{3}<x<\pi\end{array}$
$x=\frac{\pi}{2}$ पर असतत नहीं है, तो
$9 \lambda+6 \log _e \mu+\mu^{6}-e^{6 \lambda}$ के बराबर है
(1) 11
(2) 8
(3) $2 e^{4}+8$
(4) 10
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: एक बिंदु पर फलन की असततता , एक बिंदु पर अवकलनीयता
$ \begin{aligned} & \Rightarrow \lim _{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{+}} e^{\frac{\cot 6 x}{\cot 4 x}}=\lim _{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{+}} e^{\frac{\sin 4 x \cdot \cos 6 x}{\sin 6 x \cdot \cos 4 x}}=e^{2 / 3} \\ & \Rightarrow \lim _{x \rightarrow (\frac{\pi}{2})^{-}}(1+|\cos x|)^{\frac{\lambda}{|\cos x|}}=e^\lambda \\ & \Rightarrow f(\frac{\pi}{2})=\mu \end{aligned} $
असतत फलन के लिए $\Rightarrow e^{2 / 3}=e^\lambda=\mu$
$ \Rightarrow \ \lambda=\frac{2}{3}, \mu=e^{2 / 3} $
अब, $9 \lambda+6 \log _e \mu+\mu^6-e^{6 \lambda}=10$
बीटा
