उत्तर: (2)

समाधान:

सूत्र: एक बिंदु पर फलन की असततता , एक बिंदु पर अवकलनीयता

$f(x)$ की असततता: $f(0^{+})=h^{2} \cdot \sin \frac{1}{h}=0$

$f(0^{-})=(-h)^{2} \cdot \sin (\frac{-1}{h})=0$

$f(0)=0$

$\because \ \text{बाईं ओर की सीमा} = \text{दाईं ओर की सीमा} = f(0)$

$\Rightarrow \ f(x)$ $x=0$ पर असतत नहीं है

$f^{\prime}(0^{+})=\lim _{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2} \cdot \sin (\frac{1}{h})-0}{h}=0$

$f^{\prime}(0^{-})=\lim _{h \to 0} \frac{f(0-h)-f(0)}{-h}=\frac{h^{2} \cdot \sin (\frac{1}{-h})-0}{-h}=0$

$\because \ \text{बाईं ओर के अवकलज} = \text{दाईं ओर के अवकलज}$ $x=0$ पर

$\Rightarrow \ f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है

$f^{\prime}(x)=2 x \cdot \sin (\frac{1}{x})+x^{2} \cdot \cos (\frac{1}{x}) \cdot \frac{-1}{x^{2}}$

$f^{\prime}(x)=\begin{cases} 2 x \cdot \sin (\frac{1}{x})-\cos (\frac{1}{x}), & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}$

$\Rightarrow f^{\prime}(x)$ असतत है (क्योंकि $\cos (\frac{1}{x})$ बहुत असतत है)