कंप्लेक्स संख्या प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 24 जनवरी - शिफ्ट 2
$(\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}})^{3}$ का मान है
(1) $\frac{-1}{2}(1-i \sqrt{3})$
(2) $\frac{1}{2}(1-i \sqrt{3})$
(3) $\frac{-1}{2}(\sqrt{3}-i)$
(4) $\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: कंप्लेक्स संख्या का बीजगणित , डेमोवर के प्रमेय , संयुग्मक के गुणधर्म
मान लीजिए $\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}=z$
$(\frac{1+z}{1+\bar{z}})^{3}=(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}})^{3}=z^{3}$
$\Rightarrow(i(\cos \frac{2 \pi}{9}-i \sin \frac{2 \pi}{9}))^{3}$
$=-i(\cos \frac{2 \pi}{3}-i \sin \frac{2 \pi}{3})=-i(\frac{-1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})$
$\Rightarrow \frac{-1}{2}(\sqrt{3}-i)$.
बीटा
