कंप्लेक्स संख्या प्रश्न 1
प्रश्न 1 - 24 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $p, q \in \mathbb{R}$ और $(1-\sqrt{3} i)^{200}=2^{199}(p+i q)$,
$i=\sqrt{-1}$ तो $p+q+q^{2}$ और $p-q+q^{2}$ समीकरण के मूल हैं।
(1) $x^{2}+4 x-1=0$
(2) $x^{2}-4 x+1=0$
(3) $x^{2}+4 x+1=0$
(4) $x^{2}-4 x-1=0$
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: डेमोवर के प्रमेय
$(1-\sqrt{3} i)^{200}=2^{199}(p+i q)$
$2^{200}(\cos \frac{\pi}{3}-i \sin \frac{\pi}{3})^{200}=2^{199}(p+i q)$
$2(-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2})=p+iq$
$p=-1, q=-\sqrt{3}$
$\alpha=p+q+q^{2}=2-\sqrt{3}$
$\beta=p-q+q^{2}=2+\sqrt{3}$
$\alpha+\beta=4$
$\alpha \beta=1$
समीकरण $x^2-(\alpha + \beta)x + \alpha \beta$ द्वारा दिया जाता है
$\Rightarrow x^{2}-4 x+1=0$
बीटा
