वृत्त प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 25 जनवरी - शिफ्ट 1
रेखा $a x+by =0$, $(a \neq b)$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}-2 x=0$ के प्रतिच्छेद बिंदु $A(\alpha, 0)$ और $B(1, \beta)$ हैं। वृत्त के छाया बिंदु $AB$ के व्यास के रूप में रेखा $x+y+2=0$ में छाया होगी:
(1) $x^{2}+y^{2}+5 x+5 y+12=0$
(2) $x^{2}+y^{2}+3 x+5 y+8=0$
(3) $x^{2}+y^{2}+3 x+3 y+4=0$
(4) $x^{2}+y^{2}-5 x-5 y+12=0$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: मध्य बिंदु सूत्र , एक बिंदु के रेखा के संबंध में प्रतिबिम्ब
क्योंकि $A$ और $B$ दोनों रेखा और वृत्त को संतुष्ट करते हैं, हमें $\alpha=0 \Rightarrow A(0,0)$ और $\beta=1$ अर्थात $B(1,1)$ प्राप्त होता है।
वृत्त के केंद्र $AB$ के व्यास के रूप में $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है और त्रिज्या $=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore$ बिंदु $\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ के रेखा $x+y+2$ में प्रतिबिम्ब के लिए $\frac{x-\frac{1}{2}}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{-2(3)}{2}$
$ \Rightarrow \text { प्रतिबिम्ब } \left(-\frac{5}{2},-\frac{5}{2}\right) $
$\therefore$ आवश्यक वृत्त का समीकरण
$ \left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{2} $
$ \Rightarrow x^2+y^2+5 x+5 y+\frac{50}{4}-\frac{1}{2}=0 $
$ \Rightarrow x^2+y^2+5 x+5 y+12=0 $
बीटा
