उत्तर: 1

समाधान:

सूत्र: महत्वपूर्ण परिणाम $x^{m}$ का गुणांक $(a x^p + \frac{b}{x^q})^n$ के विस्तार में

बाइनोमियल प्रमेय के अनुसार, $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद निम्नलिखित होता है: $$ T_k=\binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

हमारे मामले में, $a=\alpha x^3$ और $b=\frac{1}{\beta x}$. इसलिए, $k$-वां पद होता है: $$ T_k=\binom{11}{k}\left(\alpha x^3\right)^{11-k}\left(\frac{1}{\beta x}\right)^k $$

इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है: $$ \begin{aligned} T_k & =\binom{11}{k} \alpha^{11-k} \frac{1}{\beta^k} x^{3(11-k)-k} \ & =\binom{11}{k} \alpha^{11-k} \frac{1}{\beta^k} x^{33-4 k} \end{aligned} $$

हमें $x$ की घात 9 होनी चाहिए: $$ 33-4 k=9 \Longrightarrow 4 k=24 \Longrightarrow k=6 $$

अब $k=6$ को पद में बदल दें: $$ T_6=\binom{11}{6} \alpha^{11-6} \frac{1}{\beta^6}=\binom{11}{6} \alpha^5 \frac{1}{\beta^6} $$

चरण 2: $\left(\alpha x-\frac{1}{\beta x^3}\right)^{11}$ में $x^9$ का गुणांक खोजें

इसी तरह, हम यहां बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहां $a=\alpha x$ और $b=-\frac{1}{\beta x^3}$ है:

$$ T_k=\binom{11}{k}(\alpha x)^{11-k}\left(-\frac{1}{\beta x^3}\right)^k $$

इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है: $$ \begin{aligned} T_k & =\binom{11}{k} \alpha^{11-k}(-1)^k \frac{1}{\beta^k} x^{(11-k)-3 k} \ & =\binom{11}{k} \alpha^{11-k}(-1)^k \frac{1}{\beta^k} x^{11-4 k} \end{aligned} $$

हमें $x$ की घात 9 होनी चाहिए: $$ \begin{gathered} 11-4 k=9 \Longrightarrow 4 k=2 \Longrightarrow k \ =\frac{1}{2}(\text { संभव नहीं है }) \end{gathered} $$

जगह, हम $k=5$ का प्रयोग कर सकते हैं: $$ 11-4 k=9 \Longrightarrow 4 k=2 \Longrightarrow k=5 $$

$ k=5 $ को पद में बदल दें: $$ T_5=\binom{11}{5} \alpha^{11-5}(-1)^5 \frac{1}{\beta^5}=-\binom{11}{5} \alpha^6 \frac{1}{\beta^5} $$

चरण 3: गुणांकों को बराबर करें

अब हम गुणांकों को बराबर करते हैं: $$ \binom{11}{6} \alpha^5 \frac{1}{\beta^6}=-\binom{11}{5} \alpha^6 \frac{1}{\beta^5} $$

चरण 4: समीकरण को सरल करें

संगठित करने पर हमें प्राप्त होता है: $$ \binom{11}{6} \frac{1}{\beta}=-\binom{11}{5} \alpha $$

चरण 5: $\alpha \beta^2$ के लिए हल करें

समीकरण से हम $\alpha \beta^2$ निकाल सकते हैं: $$ \alpha \beta^2=-\frac{\binom{11}{6}}{\binom{11}{5}}=-\frac{11-6}{6}=-\frac{5}{6} $$

चरण 6: $(\alpha \beta)^2$ खोजें

इसलिए हमें प्राप्त होता है: $$ \alpha \beta^2=-1 \Longrightarrow(\alpha \beta)^2=1 $$

अंतिम उत्तर

इसलिए, $(\alpha \beta)^2=1$।