बाइनोमियल प्रमेय प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 24 जनवरी - शिफ्ट 2
$ (x-\frac{3}{x^{2}})^{n}, x \neq 0, n \in N $ के विस्तार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग 376 है। तो $x^{4}$ का गुणांक है
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उत्तर: 405
समाधान:
सूत्र: बाइनोमियल प्रमेय , महत्वपूर्ण परिणाम (i) $ (a x^p + \frac{b}{x^q})^n $ के विस्तार में $x^{m}$ का गुणांक
दिया गया बाइनोमियल $ (x-\frac{3}{x^{2}})^{n}, x \neq 0, n \in N $,
पहले तीन पदों के गुणांकों का योग
$ \begin{aligned} & { }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 \cdot 3+{ }^{n} C_2 3^{2}=376 \\ & \Rightarrow 3 n^{2}-5 n-250=0 \\ & \Rightarrow(n-10)(3 n+25)=0 \\ & \Rightarrow n=10 \end{aligned} $
अब सामान्य पद $ { }^{10} C_r x^{10-r}(\frac{-3}{x^{2}})^{r} $
$ \begin{aligned} & ={ }^{10} C_r x^{10-r}(-3)^{r} \cdot x^{-2 r} \\ & ={ }^{10} C_r(-3)^{r} \cdot x^{10-3 r} \end{aligned} $
$x^{4}$ का गुणांक $\Rightarrow 10-3 r=4$
$\Rightarrow r=2$
${ }^{10} C_2(-3)^{2}=405$
बीटा
