उत्तर: (1)

समाधान:

सूत्र: बाइनोमियल प्रमेय

$ \begin{gathered} x=(8 \sqrt{3}+13)={ }^{13} C_0 \cdot(8 \sqrt{3})^{13}+{ }^{13} C_1(8 \sqrt{3})^{12}(13)^{1}+\ldots \\ x^{\prime}=(8 \sqrt{3}-13)^{13}={ }^{13} C_0(8 \sqrt{3})^{13}-{ }^{13} C_1(8 \sqrt{3})^{12}(13)^{1}+\ldots \\ x-x^{\prime}=2[{ }^{13} C_1 \cdot(8 \sqrt{3})^{12}(13)^{1}+{ }^{13} C_3(8 \sqrt{3})^{10} \cdot(13)^{3} \ldots] \end{gathered} $

इसलिए, $x-x^{\prime}$ एक सम पूर्णांक है, इसलिए $[x]$ सम है

अब, $y=(7 \sqrt{2}+9)^{9}={ }^{9} C_0(7 \sqrt{2})^{9}+{ }^{9} C_1(7 \sqrt{2})^{8}(9)^{1}+{ }^{9} C_2(7 \sqrt{2})^{7}(9)^{2} \ldots \ldots $

$y^{\prime}=(7 \sqrt{2}-9)^{9}={ }^{9} C_0(7 \sqrt{2})^{9}-{ }^{9} C_1(7 \sqrt{2})^{8}(9)^{1}+{ }^{9} C_2(7 \sqrt{2})^{7}(9)^{2} \ldots \ldots$

$y-y^{\prime}=2[{ }^{9} C_1(7 \sqrt{2})^{8}(9)^{1}+{ }^{9} C_3(7 \sqrt{2})^{6}(9)^{3}+\ldots]$

$y-y^{\prime}=$ सम पूर्णांक, इसलिए $[y]$ सम है

इसलिए, $[x] + [y] $ एक सम पूर्णांक भी है।