बाइनोमियल प्रमेय प्रश्न 13
प्रश्न 13 - 30 जनवरी - शिफ्ट 1
$ (1+x)^{500}+x(1+x)^{499}+x^{2}(1+x)^{498}+\ldots . .+x^{500} $ में $ x^{301} $ का गुणांक है:
(1) ${ }^{501} C _{302}$
(2) ${ }^{500} C _{301}$
(3) ${ }^{500} C _{300}$
(4) ${ }^{501} C _{200}$
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: G.P. के $\mathbf{n}$ पदों का योग , धनात्मक पूर्णांक के बाइनोमियल प्रमेय के गुण
$ \begin{aligned} & (1+x)^{500}+x(1+x)^{499}+x^{2}(1+x)^{498}+\ldots .+x^{500} \\ & =(1+x)^{500} \cdot{\frac{1-(\frac{x}{1+x})^{501}}{1-\frac{x}{1+x}}} \\ & =(1+x)^{500} \frac{((1+x)^{501}-x^{501})}{(1+x)^{501}} \cdot(1+x) \\ & =(1+x)^{501}-x^{501} \end{aligned} $
$ (1+x)^{501}-x^{501} $ में $ x^{301} $ का गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$ { }^{501} C _{301}={ }^{501} C _{200} $
बीटा
