बाइनोमियल प्रमेय प्रश्न 12
प्रश्न 12 - 30 जनवरी - शिफ्ट 1
यदि $x^{15}$ का गुणांक $(ax^{3}+\frac{1}{b x^{\frac{1}{3}}})^{15}$ के विस्तार में $x^{-15}$ के गुणांक $(a x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{b x^{3}})^{15}$ के विस्तार में समान है, जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो प्रत्येक ऐसे क्रमित युग्म $(a, b)$ के लिए:
(1) $a=b$
(2) $ab=1$
(3) $a=3 b$
(4) $ab=3$
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उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: गुणांक $x^{m}$ के लिए $ \left(a x^{p} + \frac{b}{x^{q}}\right)^{n} $ के विस्तार में महत्वपूर्ण परिणाम
विकल्प (2)
$ (a x^{3}+\frac{1}{b x^{1 / 3}})^{15} $ में $x^{15}$ का गुणांक
$ T _{r+1}={ }^{15} C_r(ax^{3})^{15-r}(\frac{1}{bx^{1 / 3}})^{r} $
$45-3 r-\frac{r}{3}=15$
$30=\frac{10 r}{3}$
$r=9$
$x^{15}$ का गुणांक $= { }^{15} C_9 a^{6} b^{-9}$
$(ax^{1 / 3}-\frac{1}{bx^{3}})^{15}$ में $x^{-15}$ का गुणांक
$T _{r+1}={ }^{15} C_r(ax^{1 / 3})^{15-r}(-\frac{1}{bx^{3}})^{r}$
$5-\frac{r}{3}-3 r=-15$
$\frac{10 r}{3}=20$
$r=6$
इसलिए, $ { }^{15} C_9 a^6 b^{-9}={ }^{15} C_6 a^9 b^{-6} $
$ \Rightarrow a^{-3} b^{-3}=1 $
या $ a b=1 $
बीटा
