बाइनॉमियल प्रमेय प्रश्न 11
प्रश्न 11 - 29 जनवरी - शिफ्ट 2
मान लीजिए $K$ व्यापकीकरण $(1+x)^{99}$ में $x$ के विषम घातों के गुणांकों का योग है। मान लीजिए $a$ व्यापकीकरण $(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ में मध्य पद है। यदि $\frac{{ }^{200} C _{99} K}{a}=\frac{2^{\ell} m}{n}$, जहाँ $m$ और $n$ विषम संख्याएँ हैं, तो क्रमित युग्म $(\ell, n)$ किसके बराबर है:
(1) $(50,51)$
(2) $(51,99)$
(3) $(50,101)$
(4) $(51,101)$
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उत्तर: (3)
समाधान:
सूत्र: बाइनॉमियल प्रमेय , जब n सम हो तो विस्तार में मध्य पद , बाइनॉमियल गुणांक का सामान्य पद
विस्तार $(1+x)^{99}=C_0+C_1 x+C_2 x^{2}+\ldots .+C _{99} x^{99}$
$K=C_1+C_3+\ldots .+C _{99}=2^{98}$
$a \Rightarrow$ विस्तार $(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ में मध्य पद
$T _{\frac{200}{2}+1}={ }^{200} C _{100}(2)^{100}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{100}$
$ ={ }^{200} C _{100} \cdot 2^{50} $
इसलिए, $\frac{{ }^{200} C _{99} \times 2^{98}}{{ }^{200} C _{100} \times 2^{50}}=\frac{100}{101} \times 2^{48}$
इसलिए, $\frac{25}{101} \times 2^{50}=\frac{m}{n} 2^{\ell}$
$\therefore \quad m, n$ विषम हैं इसलिए $(\ell, n)$ बनता है $(50,101)$ उत्तर।
बीटा
