उत्तर: 1120

समाधान:

सूत्र: बाइनोमियल गुणांक का सामान्य शब्द

$ t _{r+1}={ }^{n} C_r(2 x)^{r} $

$\Rightarrow \frac{{ }^{n} C _{r-1}(2)^{r-1}}{{ }^{n} C_r(2)^{r}}=\frac{2}{5}$

$\Rightarrow \frac{\frac{n !}{(r-1) !(n-r+1) !}}{\frac{n !(2)}{r !(n-r) !}}=\frac{2}{5}$

$\Rightarrow \frac{r}{n-r+1}=\frac{4}{5} \Rightarrow 5 r=4 n-4 r+4$

$\Rightarrow 9 r=4(n+1)\ldots (1) $

$\Rightarrow \frac{{ }^{n} C_r(2)^{r}}{{ }^{n} C _{r+1}(2)^{r+1}}=\frac{5}{8}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \frac{\frac{n !}{r !(n-r) !}}{n !}=\frac{5}{4} \Rightarrow \frac{r+1}{n-r}=\frac{5}{4} \\ & \overline{(r+1) !(n-r-1) !} \\ & \Rightarrow 4 r+4=5 n-5 r \Rightarrow 5 n-4=9 r \ldots (2) \end{aligned} $

(1) और (2) से

$\Rightarrow 4 n+4=5 n-4 \Rightarrow n=8$

(1) $\Rightarrow r=4$

तो, मध्य शब्द के गुणांक है