उत्तर: (4)

समाधान:

सूत्र: दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल - दो वक्रों के बीच घेरे गए क्षेत्रफल

$|\cos x-\sin x| \leq y \leq \sin x \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

$|\cos x - \sin x| = \begin{cases}\cos x- \sin x & 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \\ \sin x -\cos x & \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \end{cases}$

$\cos x-\sin x=\sin x$ के प्रतिच्छेद बिंदु

$\Rightarrow \tan x=\frac{1}{2}$

मान लीजिए $\psi=\tan ^{-1} \frac{1}{2}$

तो, $\tan \psi=\frac{1}{2}, \sin \psi=\frac{1}{\sqrt{5}}, \cos \psi=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\begin{aligned} \text{ क्षेत्रफल } & =\int _{\psi}^{\pi / 2}(\sin x-|\cos x-\sin x|) d x \\ & =\int _{\psi}^{\pi / 4}(\sin x-(\cos x-\sin x)) d x +\int _{\pi / 4}^{\pi / 2}(\sin x-(\sin x-\cos x)) d x \end{aligned}$

क्षेत्रफल $=\int _{\psi}^{\pi / 4}(2 \sin x-\cos x) d x+\int _{\pi / 4}^{\pi / 2} \cos x d x$

क्षेत्रफल $=[-2 \cos x-\sin x] _{\psi}^{\pi / 4}+[\sin x] _{\pi / 4}^{\pi / 2}$

क्षेत्रफल $=-\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}+2 \cos \psi+\sin \psi+(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

क्षेत्रफल $=-\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}+2(\frac{2}{\sqrt{5}})+(\frac{1}{\sqrt{5}})+(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

क्षेत्रफल $= \sqrt{5}-2 \sqrt{2}+1$