कक्षा के अंतरगत क्षेत्र के प्रश्न 5
प्रश्न 5 - 29 जनवरी - विस्थापन 1
मान लीजिए $A=\lbrace (x, y) \in \mathbb R^{2}: y \geq 0,2 x \leq y \leq \sqrt{ 4-(x-1)^{2}}\rbrace$ और $B=\lbrace (x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}: 0 \leq y \leq \min \lbrace 2 x, \sqrt{4-(x-1)^{2}}\rbrace\rbrace$
तो A के क्षेत्रफल का B के क्षेत्रफल से अनुपात है
(1) $\frac{\pi-1}{\pi+1}$
(2) $\frac{\pi}{\pi-1}$
(3) $\frac{\pi}{\pi+1}$
(4) $\frac{\pi+1}{\pi-1}$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल - दो वक्रों के बीच घेरे गए क्षेत्रफल
$y^{2}+(x-1)^{2}=4$
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=\text{वृत्त}(OABC) - Ar(\triangle OAB)$
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=\frac{\pi(4)}{4}-\frac{1}{2}(2)(1)$
$A=(\pi-1)$
क्षेत्र $B=Ar(\triangle AOB)+$ वृत्त के चाप के क्षेत्रफल $(ABC)$
क्षेत्र $=\frac{1}{2}(1)(2)+\frac{\pi(2)^{2}}{4}=\pi+1$
क्षेत्र $\frac{A}{B}=\frac{\pi-1}{\pi+1}$
इसलिए, सही विकल्प (1) है
बीटा
