उत्तर: 600

समाधान:

सूत्र: दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल - दो वक्रों के बीच घिरे क्षेत्रफल जो दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं

दिया गया है, $P_1: 2 y=5 x^2$ और $P_2: x^2-y+6=0$

प्रतिच्छेद बिंदु के लिए

$2y= 5x^2 \qquad \ldots (i)$

$x^2- y=-6$

$\Rightarrow 2x^2-2y=-12$

समीकरण (i) से

$\Rightarrow 2x-(5x^2) = -12$

$\Rightarrow -3x^2 = -12$

$\Rightarrow x= \pm 2$

$P_1$ और $P_2$ के बीच ग्राफ

$2 y=5 x^{2}$ और $y=x^{2}+6$ के प्रतिच्छेद बिंदु के अक्ष के मान $\pm 2$ है

$P_1$ और $y=\alpha x, \alpha>0$ के बीच ग्राफ

क्षेत्रफल $=2 \int_0^{2}(x^{2}+6-\frac{5 x^{2}}{2}) d x=\int_0^{\frac{2 \alpha}{5}}(\alpha x-\frac{5 x^{2}}{2}) d x$

$\Rightarrow 2\left[6x - \frac{x^3}{2}\right] _{0}^{2} = \left[\frac{\alpha x^2}{2} - \frac{5x^3}{2 \times 3}\right] _{0}^{\frac{2\alpha}{5}}$

$\Rightarrow 2 [12-4] = \left[\frac{\alpha 4 \alpha^{2}}{25} - \frac{5 \times 8 \alpha^3}{375}\right]$

$\Rightarrow 2 \times 8 = \frac{1}{2} \left[\frac{60 \alpha^3-40 \alpha^3}{375}\right]$

$\Rightarrow 32 \times 375 = 20 \alpha^3$

$\Rightarrow \alpha^3 = \frac{32}{20} \times 375$

$\Rightarrow \alpha^{3}=600$