कक्षा के तल के तल के प्रश्न 12
प्रश्न 12 - 01 फरवरी - शिफ्ट 1
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{x+a}{y-2}=0, y(1)=0$ द्वारा दिए गए बंद वक्र $C$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $4 \pi$ है।
मान लीजिए $P$ और $Q$ वक्र $C$ और $y$-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु हैं। यदि $P$ और $Q$ पर वक्र $C$ के अभिलम्ब $X$-अक्ष को बिंदुओं $R$ और $S$ पर काटते हैं, तो रेखाखंड $RS$ की लंबाई है
(1) $2 \sqrt{3}$
(2) $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
(3) 2
(4) $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
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उत्तर: (4)
समाधान:
सूत्र: वियोज्य चर के विधि , अभिलम्ब का समीकरण
$\frac{d y}{d x}+\frac{x+a}{y-2}=0$
$\frac{d y}{d x}=\frac{x+a}{2-y}$
$(2-y) d y=(x+a) d x$
$2 y - \frac{y^2}{2}=\frac{x^{2}}{2}+ax+c$
$a+c=-\frac{1}{2}$ जबकि $y(1)=0$
$x^{2}+y^{2}+2 ax-4 y-1-2 a=0$
$\pi r^{2}=4 \pi$
$r^{2}=4$
$4=\sqrt{a^{2}+4+1+2 a}$
$(a+1)^{2}=0$
$P, Q=(0,2 \pm \sqrt{3})$
$P, Q$ पर अभिलम्ब के समीकरण $y-2=\sqrt{3}(x-1)$
$y-2=-\sqrt{3}(x-1)$
$R=(1-\frac{2}{\sqrt{3}}, 0)$
$S=(1+\frac{2}{\sqrt{3}}, 0)$
$RS=\frac{4}{\sqrt{3}}=4 \frac{\sqrt{3}}{3}$
बीटा
