कक्षा के तल के अंतरगत क्षेत्रफल प्रश्न 11
प्रश्न 11 - 31 जनवरी - विस्थापन 2
मान लीजिए क्षेत्र का क्षेत्रफल $\lbrace (x, y):|2 x-1| \leq y \leq \mid x^{2}-x \mid, 0 \leq x \leq 1 \rbrace $ है A। तब $(6 A+11)^{2}$ के बराबर है
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उत्तर: 125
समाधान:
सूत्र: दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल - दो वक्रों के बीच घेरा क्षेत्रफल जो दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं
$ y \geq|2 x-1|, y \leq|x^{2}-x| $
दोनों वक्र $x=\frac{1}{2}$ के संदर्भ में सममित हैं। इसलिए
$ \begin{aligned} & A=2 \int _{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1}{2}}((x-x^{2})-(1-2 x)) d x \\ & A=2 \int _{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1}{2}}(-x^{2}+3 x-1) d x=2(\frac{-x^{3}}{3}+\frac{3}{2} x^{2}-x) _{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $
6A + 11 के हल के बराबर 5√5 है
$(6 A+11)^2=(5 \sqrt{5})^2= 125$
बीटा
