अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 9
प्रश्न 9 - 01 फरवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $f(x)= \begin{vmatrix} 1+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \sin 2 x \\ \sin ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \sin 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{vmatrix} $,
$x \in[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$. यदि $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हों, तो
(1) $\beta^{2}-2 \sqrt{\alpha}=\frac{19}{4}$
(2) $\beta^{2}+2 \sqrt{\alpha}=\frac{19}{4}$
(3) $\alpha^{2}-\beta^{2}=4 \sqrt{3}$
(4) $\alpha^{2}+\beta^{2}=\frac{9}{2}$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान , निर्धारक के गुणधर्म
$C_1 \to C_1+C_2+C_3$
$f(x)= \begin{vmatrix} 2+\sin 2 x & \cos ^{2} x & \sin 2 x \\ 2+\sin 2 x & 1+\cos ^{2} x & \sin 2 x \\ 2+\sin 2 x & \cos ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{vmatrix} $
$f(x)=(2+\sin 2 x) \begin{vmatrix} 1 & \cos ^{2} x & \sin 2 x \\ 1 & 1+\cos ^{2} x & \sin 2 x \\ 1 & \cos ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{vmatrix} $
$ \begin{aligned} & R_2 \to R_2-R_1 \\ & R_3 \to R_3-R_1 \end{aligned} $
$f(x)=(2+\sin 2 x) \begin{vmatrix} 1 & \cos ^{2} x & \sin 2 x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{vmatrix} $
$=(2+\sin 2 x)(1)=2+\sin 2 x$
$\therefore \ x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$
$\Rightarrow 2x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}]$
$\text{max} f(x) = 3 = \alpha$
$\text{min} f(x) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \beta$
$\therefore \ $ $\beta^{2}-2 \sqrt{\alpha}=\frac{19}{4}$
बीटा
