अवकलज के अनुप्रयोग के प्रश्न 8
प्रश्न 8 - 31 जनवरी - शिफ्ट 1
एक तार की लंबाई $20 मीटर$ है जिसे दो टुकड़ों में काट लिया जाना है।
एक टुकड़े की लंबाई $\ell_1$ को एक वर्ग के रूप में मोड़ लिया जाता है जिसका क्षेत्रफल $A_1$ है और दूसरे टुकड़े की लंबाई $\ell_2$ को एक वृत्त के रूप में मोड़ लिया जाता है जिसका क्षेत्रफल $A_2$ है। यदि $2 A_1+3 A_2$ न्यूनतम है तो $(\pi \ell_1): \ell_2$ किसके बराबर है:
(1) $6: 1$
(2) $3: 1$
(3) $1: 6$
(4) $4: 1$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: फलन के अधिकतम और न्यूनतम
$\ell_1+\ell_2=20 \Rightarrow \frac{d \ell_2}{d \ell_1}=-1$
$A_1=(\frac{\ell_1}{4})^{2}$ और $A_2=\pi(\frac{\ell_2}{2 \pi})^{2}$
मान लीजिए $S=2 A_1+3 A_2=\frac{\ell_1^{2}}{8}+\frac{3 \ell_2^{2}}{4 \pi}$
$\frac{ds}{d \ell}=0 \Rightarrow \frac{2 \ell_1}{8}+\frac{6 \ell_2}{4 \pi} \cdot \frac{d \ell_2}{d \ell_1}=0$
$\Rightarrow \frac{\ell_1}{4}=\frac{6 \ell_2}{4 \pi} \Rightarrow \frac{\pi \ell_1}{\ell_2}=6$
बीटा
