अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 4
प्रश्न 4 - 29 जनवरी - विस्थापन 2
यदि वक्र $y=\frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$ के बिंदु $(1,-3)$ पर अभिलम्ब का समीकरण $x-4 y=13$ है, तो $a+b$ का मान बराबर है________
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उत्तर: 4
समाधान:
सूत्र: वक्र के अभिलम्ब का समीकरण , अभिलम्ब का ढलान
$ y=\frac{x-a}{(x+b)(x-2)} $
बिंदु $(1,-3)$ पर,
$ -3=\frac{1-a}{(1+b)(1-2)} $
$\Rightarrow 1-a=3(1+b) \quad \ldots (i)$
अब, $y=\frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{(x+b)(x-2) \times(1)-(x-a)(2 x+b-2)}{(x+b)^{2}(x-2)^{2}}$
बिंदु $(1,-3)$ पर अभिलम्ब का ढलान $\frac{1}{4}$ है, अतः $\frac{d y}{d x}=-4$,
इसलिए, $-4=\frac{(1+b)(-1)-(1-a) b}{(1+b)^{2}(-1)^{2}}$
समीकरण (1) का उपयोग करते हुए
$\Rightarrow-4=\frac{(1+b)(-1)-3(b+1) b}{(1+b)^{2}}$
$\Rightarrow-4=\frac{(-1)-3 b}{(1+b)}(b \neq-1)$
$\Rightarrow b=-3$
इसलिए, $a=7$
अतः, $a+b=7-3=4$
बीटा
