अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 2
प्रश्न 2 - 25 जनवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $x=2$ फलन $f(x)=2 x^{4}-18 x^{2}+8 x+12, x \in(-4,4)$ का एक स्थानीय न्यूनतम है। यदि $M$ फलन $f$ का स्थानीय अधिकतम मान है $(-4,4)$ में, तो $M=$
(1) $12 \sqrt{6}-\frac{33}{2}$
(2) $12 \sqrt{6}-\frac{31}{2}$
(3) $18 \sqrt{6}-\frac{33}{2}$
(4) $18 \sqrt{6}-\frac{31}{2}$
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उत्तर: (1)
समाधान:
सूत्र: फलन के अधिकतम और न्यूनतम
$f^{\prime}(x)=8 x^{3}-36 x+8=4(2 x^{3}-9 x+2)$
$f^{\prime}(x)=0$
$\Rightarrow \ 2x^3 - 9x+2 = 0$
$\Rightarrow \ (x-2) (2x^2 - 4x -1) =0$
$x-2 = 0$ या $2x^2-4x-1 = 0$
$x=2$ या $x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16-4 \times 2 \times {-1}}}{2 \times 2}$
$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16+8}}{4}$
$x= \dfrac{4 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$
$x = \dfrac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$
$\therefore \ $ फलन का अधिकतम मान $x=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}$ पर होता है
अब
$f(x)=(x^{2}-2 x-\frac{9}{2})(2 x^{2}+4 x-1)+24 x+7.5$
$\therefore f(\frac{\sqrt{6}-2}{2})=M=12 \sqrt{6}-\frac{33}{2}$
बीटा
