अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 12
प्रश्न 12 - 01 फरवरी - विस्थापन 1
मान लीजिए $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है जो इस प्रकार है कि $f^{\prime}(x)+f(x)=\int_0^{2} f(t) d t$. यदि $f(0)=e^{-2}$, तो $2 f(0)-f(2)$ किसके बराबर है?
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उत्तर: 1
समाधान:
सूत्र: प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (7.1) , निश्चित समाकल के गुणधर्म
$ \begin{aligned} & \frac{dy}{dx}+y=k \\ & \quad y \cdot e^{x}=k \cdot e^{t}+c \\ & f(0)=e^{-2} \\ & \Rightarrow \quad c=e^{-2}-k \\ & \therefore \quad y=k+(e^{-2}-k) e^{-x} \\ & \\ & \quad \text{ अब } k=\int_0^{2}(k+(e^{-2}-k) e^{-x}) dx \\ & \Rightarrow \quad k=e^{-2}-1 \\ & \therefore \quad y=(e^{-2}-1)+e^{-x} \\ & \\ & f(2)=2 e^{-2}-1, f(0)=e^{-2} \\ & 2 f(0)-f(2)=1 \end{aligned} $
बीटा
