उत्तर: (14)

समाधान:

सूत्र: अवकलज की क्रमागत विधि

$f(x)=x^{2}+g^{\prime}(1) x+g^{\prime \prime}(2) \quad \ldots (i)$

$f^{\prime}(x)=2 x+g^{\prime}(1) \quad \ldots (a)$

$f^{\prime \prime}(x)=2$

$g(x)=f(1) x^{2}+x[2 x+g^{\prime}(1)]+2$

$g^{\prime}(x)=2 f^{\prime}(1) x+4 x+g^{\prime}(1) \quad \ldots (ii)$

$g^{\prime \prime}(x)=2 f(1)+4 \quad \ldots (iii)$

समीकरण (ii) में $x=1$ रखें

$g^{\prime}(1) = 2 f(1) +4$

$\Rightarrow \ 2 f(1)+4 =0$

$\Rightarrow f(1) = -2$

समीकरण (3) से

$g^{\prime \prime}(x)=0$

$2 f(1)+4=0$

$f(1)=-2$

समीकरण (i) में $x=1$ रखें

$-2=1+g^{\prime}(1) $

$\Rightarrow g^{\prime}(1)=-3$

समीकरण (1) से

इसलिए, $f^{\prime}(x)=2 x-3$

$f(x)=x^{2}-3 x+c$

$c=0$

$f(x)=x^{2}-3 x$

$g(x)=-3 x+2$

$f(4)-g(4)=14$