अवकलज के अनुप्रयोग प्रश्न 10
प्रश्न 10 - 01 फरवरी - शिफ्ट 1
मान लीजिए $f(x)=2 x+\tan ^{-1} x$ और $g(x)=\log _e(\sqrt{1+x^{2}}+x)$,
$x \in[0,3]$. तब
(1) ऐसा $\hat{x} \in[0,3]$ अस्तित्व में है जैसे कि $f^{\prime}(\hat{x})<g^{\prime}(\hat{x})$
(2) $\max f(x)>\max g(x)$
(3) ऐसे $0<x_1<x_2<3$ अस्तित्व में है जैसे कि $f(x)<g(x)$, $\forall x \in(x_1, x_2)$
(4) $\min f^{\prime}(x)=1+\max g^{\prime}(x)$
उत्तर दिखाएं
उत्तर: (2)
समाधान:
सूत्र: फलन के बढ़ते और घटते होने के बारे में , फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान
$f(x)=2 x+\tan ^{-1} x$ और $g(x)=\ln (\sqrt{1+x^{2}}+x), x \in[0,3]$
$f^{\prime}(x)=2+\frac{1}{{1+x^{2}}}$ और $g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
$\because 1+x^2 > 0 \text{ and } \sqrt{1+x^2} > 0$
और $f(x) \text{ और } g(x)$ दोनों धनात्मक बढ़ते फलन हैं
दोनों के क्रिटिकल मान नहीं हैं
$f(0)=0, f(3)=6+\tan ^{-1}(3) $
$g(0)=0, g(3)=\log (3+\sqrt{10})$
इससे यह निर्माण होता है $ \text{max} \ f(x) > \text{max} \ g(x)$
बीटा
