तरंग गति का सामान्य समीकरण :

$\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=v^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$

$y(x, t)=f\left(t \pm \frac{x}{v}\right)$

कहाँ, $y(x, t)$ हर जगह परिमित होना चाहिए.

$\Rightarrow \quad \mathrm{f}\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{v}}\right)$ अंदर यात्रा करने वाली तरंग का प्रतिनिधित्व करता है $-\mathrm{ve} \mathrm{x}$-एक्सिस।

$\Rightarrow \quad \mathrm{f}\left(\mathrm{t}-\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{v}}\right)$ +ve में यात्रा करने वाली तरंग का प्रतिनिधित्व करता है $\mathrm{x}$-एक्सिस।

$ y=A \sin (\omega t \pm k x+\phi) $

तरंग गति से संबंधित शब्द (1-डी प्रगतिशील साइन तरंग के लिए)

(ई) तरंग संख्या (या प्रसार स्थिरांक) (के) :

$$ \mathrm{k}=2 \pi / \lambda=\frac{\omega}{\mathrm{v}}\left(\mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}\right) $$

(एफ) तरंग का चरण: हार्मोनिक फ़ंक्शन का तर्क ( $\omega t \pm k x+\phi$ ) तरंग का चरण कहलाता है।

चरण अंतर $(\Delta \phi)$ : किसी भी समय दो कणों के चरणों में अंतर $\mathrm{t}$.

$$ \Delta \phi=\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta \mathrm{x} \quad \text { इसके अलावा। } \Delta \phi=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \cdot \Delta \mathrm{t} $$

एक स्ट्रिंग/तार के साथ अनुप्रस्थ तरंग की गति।

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \text {कहां } \quad टी=\पाठ { तनाव } $$ $$ \mu=\text { द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई } $$

साइन वेव द्वारा स्ट्रिंग के साथ शक्ति संचारित

औसत शक्ति $\langle P\rangle=2 \pi^{2} \mathrm{f}^{2} A^{2} \mu \mathrm{V}$

तीव्रता $ I=\frac{\langle P\rangel}{s}=2 \pi^{2} f^{2} A^{2} \rho V $

तरंगों का परावर्तन और अपवर्तन

$ y_{i}=A_{i} \sin \left(\omega t-k_{1} x\right) $

$\left.\begin{array}{l}y_{t}=A_{t} \sin \left(\omega t-k_{2} x\right) \\ y_{r}=-A_{r} \sin \left(\omega t+k_{1} x\right)\end{array}\right]$ यदि घटना विरल से सघन माध्यम में हो $\left(v_{2}<v_{1}\right)$

$\left.\begin{array}{l}y_{t}=A_{t} \sin \left(\omega t-k_{2} x\right) \\ y_{r}=A_{r} \sin \left(\omega t+k_{1} x\right)\end{array}\right]$ यदि घटना सघन से विरल माध्यम में हो। $\left(v_{2}>v_{1}\right)$

(डी) परावर्तित और प्रसारित तरंगों का आयाम।

$$ A_{r}=\frac{\left|k_{1}-k_{2}\right|}{k_{1}+k_{2}} A_{i} $$

$$ A_{t}=\frac{2 k_{1}}{k_{1}+k_{2}} A_{i} $$

स्थिर/स्थिर तरंगें :-

(बी) $ y_{1}=A \sin \left(\omega tk x+\theta_{1}\right) $

$ y_{2}=A \sin \left(\omega t+k x+\theta_{2}\right) $

$ y_{1}+y_{2}=\left[2 A \cos \left(k x+\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{2}\right)\right] \sin \left (\omega t+\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}\right) $

मात्रा $2 A \cos \left(k x+\frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{2}\right)$ पर परिणामी आयाम का प्रतिनिधित्व करता है $x$. किसी स्थिति में परिणामी आयाम शून्य होता है, इन्हें नोड कहा जाता है। कुछ स्थितियों पर परिणामी आयाम है $2 \mathrm{~A}$, इन्हें एंटीनोड्स कहा जाता है।

(सी) क्रमिक नोड्स या एंटीनोड्स के बीच की दूरी $=\frac{\lambda}{2}$.

(डी) क्रमिक नोड्स और एंटीनोड्स के बीच की दूरी $=\lambda / 4$.

(ई) एक ही खंड (दो क्रमिक नोड्स के बीच का भाग) के सभी कण एक ही चरण में कंपन करते हैं।

(एफ) दो लगातार खंडों में कण विपरीत चरण में कंपन करते हैं।

(जी) चूंकि नोड्स स्थायी रूप से आराम पर हैं इसलिए इनमें ऊर्जा संचारित नहीं की जा सकती है।

तारों का कंपन (खड़ी लहर)

(ए) दोनों सिरों पर स्थिर:

1. स्थिर सिरे नोड्स होंगे। तो लहरें किस लिए $L=\frac{\lambda}{2}$ $L=\frac{2 \lambda}{2}$ $\mathrm{L}=\frac{3 \lambda}{2}$

देना संभव है

$$ L=\frac{n \lambda}{2} \text { या } \lambda=\frac{2 L}{n} \text { जहां } n=1,2,3, \ldots $$

$$ \text { as } \quad v=\sqrt{\frac{T}{\mu>< }, n=\text { नहीं। लूप्स का } $$

(बी) एक छोर पर स्ट्रिंग मुक्त:

1. मौलिक मोड के लिए $L=\frac{\lambda}{4}=$ या $\lambda=4 \mathrm{~L}$

पहला ओवरटोन $L=\frac{3 \lambda}{4}$ इस तरह $\lambda=\frac{4 L}{3}$

$\Rightarrow$

इसलिए $f_{1}=\frac{3}{4 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ (पहला स्वर)

दूसरा स्वर $\mathrm{f}_{2}=\frac{5}{4 \mathrm{~L}} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

इसलिए $f_{n}=\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)}{2 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}=\frac{(2 n+1)}{4 L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$