एसएचएम

$\mathrm{F}=-\mathrm{kx}$

SHM का सामान्य समीकरण है $x=A \sin (\omega t+\phi) ;(\omega t+\phi)$ गति का चरण है और $\phi$ गति का प्रारंभिक चरण है.

कोणीय आवृत्ति$(\omega)$ : $ \omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f $

समय सीमा $(\mathrm{T})$ :$ \mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}} $

रफ़्तार :$v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}} $

त्वरण: $ a=-\omega^{2} x$

गतिज ऊर्जा (केई): $\quad \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2}\left(A^{2}-x^{2}\right)=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)$

संभावित ऊर्जा (पीई): $\quad \frac{1}{2} \mathrm{Kx}{ }^{2}$

कुल यांत्रिक ऊर्जा (टीएमई)

$=K . E .+P . E .=\frac{1}{2} k\left(A^{2}-x^{2}\right)+\frac{1}{2} K x^{2}=\frac{1}{2} K A^{2}$ (जो स्थिर है)

स्प्रिंग-मास प्रणाली

(1)

$$ \दायाँ तीर \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

(2)

$T=2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{K}}$, कहाँ $\mu=\frac{m_1 m_2}{\left(m_1+m_2\right)}$ घटे हुए द्रव्यमान के रूप में जाना जाता है

स्प्रिंग्स का संयोजन

श्रृंखला संयोजन: $\quad 1 / k_{eq}=1 / k_{1}+1 / k_{2}$

समानांतर संयोजन: $\quad k_{eq}=k_1+k_2$

सरल पेंडुलम $T=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text {eff. }}}}$ (संदर्भ फ़्रेम को तेज़ करने में); $g_{\text {eff }}$ छद्म बल और गुरुत्वाकर्षण बल के कारण शुद्ध त्वरण है।

यौगिक पेंडुलम / भौतिक पेंडुलम

समय सीमा $(T): \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mg} \ell}}$

कहाँ, $\mathrm{I}=\mathrm{I}_{\mathrm{CM}}+\mathrm{m} \ell^{2} ; \ell$ निलंबन बिंदु और द्रव्यमान केंद्र के बीच की दूरी है।

मरोड़ वाला पेंडुलम

समय सीमा $(T): \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{I}{C}} \quad$ कहाँ, $C=$ मरोड़ स्थिरांक

एक ही दिशा में एसएचएम का सुपरपोजिशन

$x_{1}=A_{1} \sin \omega t \quad$ & $\क्वाड x_{2}=A_{2} \sin (\omega t+\theta) $

यदि परिणामी का समीकरण $\mathrm{SHM}$ के रूप में लिया जाता है $\mathrm{x}=\mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{t}+\phi)$ $A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \theta}$ &$ \quad \tan \phi=\frac{A_{2} \sin \theta}{A_{1}+A_{2} \cos \theta}$

1. नम दोलन

-अवमंदन बल

$\overrightarrow{\mathrm{F}}=-\mathrm{b} \overrightarrow{\mathrm{v}}$

-गति का समीकरण है

$\frac{\mathrm{mdv}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{kx}-\mathrm{bv}$

• $b^{2}-4 m K>0$ अत्यधिक भीगना
• $b^{2}-4 m K=0$ गंभीर अवमंदन
• $b^{2}-4 m K<0$ भिगोना के तहत
• छोटे भिगोने के लिए समाधान प्रपत्र का है.

$x=\left(A_{0} e^{-b t / 2 m}\right) \sin \left[\omega^{1} t+\delta\right]$, कहाँ $\omega^{\prime}=\sqrt{\left(\frac{k}{m}\right)-\left(\frac{b}{2 m}\right)^{2}}$

छोटे बी के लिए

• कोणीय आवृत्ति $\omega^{\prime} \approx \sqrt{\mathrm{k} / \mathrm{m}},=\omega_{0}$

• आयाम $A=A_{0} e^{\frac{-b t}{2 m}}$

• ऊर्जा $E(t)=\frac{1}{2} K A^{2} e^{-b t / m}$

• गुणवत्ता कारक या $Q$ कीमत, $Q=2 \pi \frac{E}{|\Delta E|}=\frac{\omega^{\prime}}{2 \omega_{Y}}$

कहाँ $, \omega^{\prime}=\sqrt{\frac{k}{m} \cdot \frac{b^{2}}{4 m^{2}}} \quad, \omega_{Y}=\frac{b}{2 m}$

2. जबरन दोलन और अनुनाद

बाहरी बल $F(t)=F_{0} \cos \omega_{d} t$

$x(t)=A \cos \left(\omega_{d} t+\phi\right)$

$A=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(m^{2}\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)^{2}+\omega_{d}^{2} b^{2}\right)}}$ और $\tan \phi=\frac{-v_{0}}{\omega_{d} x_{0}}$

(ए) छोटी डंपिंग $A=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\omega_{d}^{2}\right)}$

(बी) ड्राइविंग आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के करीब $A=\frac{F_{0}}{\omega_{d} b}$