1. एक बिंदु का स्थिति वेक्टर:

होने देना $O$ एक निश्चित मूल हो, फिर एक बिंदु की स्थिति वेक्टर $P$ वेक्टर है $\overrightarrow{O P}$. अगर $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं $A$ और $B$, तब, $\overrightarrow{A B}=\vec{b}-\vec{a}=p v$ का $B-p v$ का $A$

दूरी सूत्र : दो बिंदुओं के बीच की दूरी $A(\vec{a})$ और $B(\vec{b})$ है $A B=|\vec{a}-\vec{b}|$

अनुभाग सूत्र : $\overrightarrow{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n} \overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{m} \overrightarrow{\mathrm{b}}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$.

का मध्य बिंदु $A B=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}}{2}$.

2. दो सदिशों का अदिश गुणनफल:

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$, कहाँ $|\vec{a}|,|\vec{b}|$ का परिमाण हैं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ क्रमशः और $\theta$ के बीच का कोण है $\vec{a}$ और $\vec{b}$.

(मैं) $ i . i=j . j=k . k=1 ; \quad i . j=j . k=k . i=0 \quad$ का प्रक्षेपण $\vec{a}$ पर $\vec{b}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

(ii) यदि $\vec{a}=a_{1} i+a_{2} j+a_{3} k $ & $\vec{b}=b_{1} i+b_{2} j+b_{3} k$ तब $\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

(iii) कोण $\phi$ बीच में $\vec{a}$ & $\vec{b}$ द्वारा दिया गया है $\cos \phi=\frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}, 0 \leq \phi \leq \pi$

(iv) $ \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \quad(\vec{a} \neq 0 \vec{b} \neq 0)$

3. दो सदिशों का सदिश गुणनफल:

1. यदि $\vec{a} $&$ \vec{b}$ दो सदिश हैं & $\theta$ तो उनके बीच का कोण है $\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \vec{n}$, कहाँ $\vec{n}$ दोनों के लिए लंबवत इकाई वेक्टर है $\vec{a}$ & $\vec{b}$ ऐसा है कि $\vec{a}, \vec{b} $& $\vec{n}$ एक दाहिने हाथ की पेंच प्रणाली बनाता है।

2. ज्यामितीय रूप से $|\vec{a} \times \vec{b}|=$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी दो आसन्न भुजाओं को दर्शाया गया है $\vec{a} $&$ \vec{b}$.

3. $\quad \hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=\overrightarrow{0} ; \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}, \hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}, \hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}$

4. यदि $\vec{a}=a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k} \quad $ & $ \vec{b}=b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$

तब $\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right|$

5. $\quad \vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \vec{a}$ और $\vec{b}$ समानांतर हैं (संरेख) $(\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ अर्थात $\vec{a}=K \vec{b}$, कहाँ $K$ एक अदिश राशि है.

6. इकाई सदिश के तल पर लंबवत $\vec{a} $& $\vec{b}$ है $\hat{n}= \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

अगर $\vec{a}, \vec{b}$ & $\vec{c}$ 3 बिंदुओं के पीवी हैं $A, B $& $ C$ फिर त्रिभुज का सदिश क्षेत्रफल $A B C=$

$\frac{1}{2}[\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}]$.

बिन्दु $A, B $&$ C$ संरेख हैं यदि $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=\overrightarrow{0}$

किसी भी चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसके विकर्ण सदिश हैं $\overrightarrow{d}_1 $ & $ \overrightarrow{d}_2 $ द्वारा दिया गया है

$\frac{1}{2}|\overrightarrow{d}_1 \times \overrightarrow{d}_2|$

लैग्रेंज की पहचान: $(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}})^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{b}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}})^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \quad \overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{b}}|$

4. अदिश त्रिगुण गुणनफल:

तीन सदिशों का अदिश त्रिगुण गुणनफल $\vec{a}$, $\vec{b}$ $\vec{c}$ परिभाषित किया जाता है: $\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}=|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}| \sin \theta \cos \phi$

• टेट्राहाइड्रॉन का आयतन $V=[\vec{a} \bar{b} \vec{c}]$

एक अदिश त्रिगुण उत्पाद में बिंदु और क्रॉस की स्थिति को आपस में बदला जा सकता है

$\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \quad$ या $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=[\vec{b} \vec{c} \vec{a}]=[\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$

• $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=-\vec{a} \cdot(\vec{c} \times \vec{b})$ अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=-[\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$

अगर $\vec{a}=a_{1} i+a_{2} j+a_{3} k ; \vec{b}=b_{1} i+b_{2} j+b_{3} k $ & $\vec{c}=c_{1} i+c_{2} j+c_{3} k$ तब

$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ \hspace{1mm} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ \hspace{1mm} c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$

सामान्य तौर पर, यदि $\vec{a}=a_{1} \overrightarrow{1}+a_{2} \vec{m}+a_{3} \vec{n} ; \vec{b}=b_{1} \overrightarrow{1}+b_{2} \vec{m}+b_{3} \vec{n}$ & $ \vec{c}=c_{1} \overrightarrow{1}+c_{2} \vec{m}+c_{3} \vec{n}$

तब $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ \hspace{1mm} b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ \hspace{1mm} c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ $[\overrightarrow{\mathrm{l}} \overrightarrow{\mathrm{m}} \overrightarrow{\mathrm{n}}]$; कहाँ $\vec{\ell}, \overrightarrow{\mathrm{m}}$ & $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ गैर समतलीय सदिश हैं।

अगर $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं $\Leftrightarrow[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=0$.

चतुष्फलक का आयतन $O A B C$ साथ $O$ मूल के रूप में & $ A(\vec{a}), B(\vec{b})$ और $C(\vec{c})$ शीर्ष हो $=\left|\frac{1}{6}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\right|$

टेट्राहेड्रोन के केन्द्रक का पॉज़िटोन वेक्टर यदि इसके शीर्षों का पी.वी. है $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ & $\vec{d}$ द्वारा दिए गए हैं $\frac{1}{4}[\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}]$.

5. वेक्टर ट्रिपल उत्पाद:

$\vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c},(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ $\quad(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})$, सामान्य रूप में

6. सदिशों की पारस्परिक प्रणाली:

अगर $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \hspace{1mm}$ & $\hspace{1mm} \vec{a}^{\prime}, \vec{b}^{\prime}, \vec{c}^{\prime}$ ऐसे गैर समतलीय सदिशों के दो सेट हैं $\vec{a} \cdot \vec{a}^{\prime}=\vec{b} \cdot \vec{b}^{\prime}=\vec{c} \cdot \vec{c}^{\prime}=1$ तो दोनों प्रणालियों को वैक्टर की पारस्परिक प्रणाली कहा जाता है, जहां

$\vec{a}^{\prime}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{b}^{\prime}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{c}^{\prime}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$