1. ट्रिगोनोमेट्रिक सम्बन्धों की डोमेन और रेंज:

2. आधारभूत ट्रिगोनोमेट्रिक समीकरण:

$\quad$ एक सीधी कोणी त्रिभुज का उपयोग करके, ट्रिगोनोमेट्रिक समीकरण और समताएं निकाली जाती हैं:

$\quad$ (2.1) $\quad \sin \theta= \frac{\text{विपरीत पक्ष}}{हाइपोटेन्यूज} $

$\quad$ (2.2) $\quad \cos \theta= \frac{\text{प्रतिसंबंधी पक्ष}}{हाइपोटेन्यूज} $

$\quad$ (2.3) $\quad \tan \theta= \frac{\text{विपरीत पक्ष}}{\text{प्रतिसंबंधी पक्ष}}$

$\quad$ (2.4) $\quad \sec \theta= \frac{हाइपोटेन्यूज}{\text{प्रतिसंबंधी पक्ष}} $

$\quad$ (2.5) $\quad \csc \theta= \frac{हाइपोटेन्यूज}{\text{विपरीत पक्ष}} $

$\quad$ (2.6) $\quad \cot \theta= \frac{\text{प्रतिसंबंधी पक्ष}}{\text{विपरीत पक्ष}}$

3. पाइथागोरस समीकरण:

$\quad$ 3.1 $\quad \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\quad$ 3.2 $\quad \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$

$\quad$ 3.3 $\quad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

4. समान और विषम समीकरण:

$\quad$ (4.1) $\quad \sin (-\theta) = -\sin \theta$

$\quad$ (4.2) $\quad \csc (-\theta) = -\csc \theta$

$\quad$ (4.3) $\quad \cos (-\theta) = \cos \theta$

$\quad$ (4.4) $\quad \sec (-\theta) = \sec \theta$

$\quad$ (4.5) $\quad \tan (-\theta) = -\tan \theta$

$\quad$ (4.6) $\quad \cot (-\theta) = -\cot \theta$

5. आवर्ती समीकरण:

$\quad$ यदि $\mathrm{n}$ कोई पूर्णांक हो

$\quad$ (5.1) $\quad \sin(\theta + 2\pi n) = \sin \theta$

$\quad$ (5.2) $\quad \csc(\theta + 2\pi n) = \csc \theta$

$\quad$ (5.3) $\quad \cos(\theta + 2\pi n) = \cos \theta$

$\quad$ (5.4) $\quad \sec(\theta + 2\pi n) = \sec \theta$

$\quad$ (5.5) $\quad \tan(\theta + \pi n) = \tan \theta$

$\quad$ (5.6) $\quad \cot(\theta + \pi n) = \cot \theta$

6. पारस्परिक समीकरण:

$\quad$ पारस्परिक समीकरण इस प्रकार होते हैं:

$\quad$ (6.1) $\quad \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}$

$\quad$ (6.2) $\quad \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}$

$\quad$ (6.3) $\quad \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

$\quad$ (6.4) $\quad \sin \theta=\frac{1}{\csc \theta}$

$\quad$ (6.5) $\quad \cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}$

$\quad$ (6.6) $\quad \tan \theta=\frac{1}{\cot \theta}$

7. आवर्तीता समीकरण (रेडियन में):

इन सूत्रों का उपयोग किया जाता है ताकि कोणों को $\pi / 2, \pi, 2 \pi$, आदि के द्वारा बदला जा सके। इन्हें एक सहभाजक आदी के रूप में भी कहा जाता है।

(7.1) $\quad \sin(\frac{\pi}{2} - A) = \cos A$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - A) = \sin A$

(7.2) $\quad \sin(\frac{\pi}{2} + A) = \cos A$ और $\cos(\frac{\pi}{2} + A) = -\sin A$

(7.3) $\quad \sin(\frac{3\pi}{2} - A) = -\cos A$ और $\cos(\frac{3\pi}{2} - A) = -\sin A$

(7.4) $\quad \sin(\frac{3\pi}{2} + A) = -\cos A$ और $\cos(\frac{3\pi}{2} + A) = \sin A$

(7.5) $\quad \sin(\pi - A) = \sin A$ और $\cos(\pi - A) = -\cos A$

(7.6) $\quad \sin(\pi + A) = -\sin A$ और $\cos(\pi + A) = -\cos A$

(7.7) $\quad \sin(2\pi - A) = -\sin A$ और $\cos(2\pi - A) = \cos A$

(7.8) $\quad \sin(2\pi + A) = \sin A$ और $\cos(2\pi + A) = \cos A$

8. सम कोण और अंतर कोण विशेषताएं:

(8.1) $\quad \sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y)$

(8.2) $\quad \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y)$

(8.3) $\quad \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \cdot \tan y}$

(8.4) $\quad \sin (x-y)=\sin (x) \cos (y)-\cos (x) \sin (y)$

(8.5) $\quad \cos (x-y)=\cos (x) \cos (y)+\sin (x) \sin (y)$

(8.6) $\quad \tan (x-y)=\frac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \cdot \tan y}$

9. दोहरे कोण विशेषताएं:

(9.1) $\quad \sin (2 x)=2 \sin x \cdot \cos x=\frac{2 \tan x}{1+\tan^2 x}$

(9.2) $\quad \cos 2 x=\cos^2 x-\sin^2 x=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$

(9.3) $\quad \cos (2 x)=2 \cos^2(x)-1=1-2 \sin^2(x)$

(9.4) $\quad \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}$

(9.5) $\quad \sec 2 x=\frac{\sec^2 x}{2-\sec^2 x}$

(9.6) $\quad \csc 2 x=\frac{\sec x \cdot \csc x}{2}$

10. तिगुना कोण विशेषताएं:

(10.1) $\quad \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin^3 x$

(10.2) $\quad \cos 3 x=4 \cos^3 x-3 \cos x$

(10.3) $\quad \tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan^3 x}{1-3 \tan^2 x}$

11. आधी कोण विशेषताएं:

(11.1) $\quad \sin \frac{x}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

(11.2) $\quad \cos \frac{x}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

(11.3) $\quad \tan \left(\frac{x}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos (x)}{1+\cos (x)}}$

12. गुणन विशेषताएं:

(12.1) $\quad \sin x \cdot \cos y=\frac{\sin (x+y)+\sin (x-y)}{2}$

(12.2) $\quad \cos x \cdot \cos y=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

(12.3) $\quad \sin x \cdot \sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

13. सम कोण से योग्यता विशेषताएं:

(13.1) $\quad \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

(13.2) $\quad \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

(13.3) $\quad \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$

बुनियादी संक्षेपण:

$\quad$ (13.4) $\quad \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$

14. महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय अनुपात:

$\quad$ (14.1) $\quad \sin \mathrm{n} \pi=0 \quad ; \quad \cos \mathrm{n} \pi=(-1) \quad ; \tan \mathrm{n} \pi=0, \quad$ यहाँ $\mathrm{n} \in \mathrm{I}$

$\quad$ (14.2) $\quad \sin 15^{\circ}$ या $\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}=\cos 75^{\circ}$ या $\cos \frac{5 \pi}{12}$

$\quad$ (14.3) $\quad \cos 15^{\circ} \text { या } \cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}=\sin 75^{\circ}$ या $\sin \frac{5 \pi}{12}$

$\quad$ (14.4) $\quad \tan 15^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2 \sqrt{3}=\cot 75^{\circ} $

$\quad$ (14.5) $\quad \tan 75^{\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}=\cot 15^{\circ}$

$\quad$ (14.6) $\quad \sin \frac{\pi}{10} $ या $\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4} \cos 36^{\circ} \hspace{1mm} $ या $ \hspace{1mm} \cos \frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

15. त्रिकोणमितीय अभिव्यंजन का सीमा:

$$-\sqrt{a^{2}+b^{2}} \leq a \sin \theta+b \cos \theta \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}$$

16. साइन श्रृंखला:

$$ \sin \alpha+\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha+2 \beta)+\ldots \ldots+\sin (\alpha+\overline{n-1} \beta)=\frac{\sin \frac{n \beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\sin \left(\alpha+\frac{n-1}{2} \beta\right)$$

17. कोसाइन श्रृंखला:

$$\cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots \ldots+\cos (\alpha+\overline{n-1} \beta)=\frac{\sin \frac{n \beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}=\cos \left(\alpha+\frac{n-1}{2} \beta\right)$$

18. त्रिकोणमितीय समीकरण:

$\quad$ (18.1) मुख्य समाधान

$\quad$ जो समाधान # # अंतराल $[0,2 \pi)$ में होते हैं, उन्हें मुख्य समाधान कहते हैं।

$\quad$ (18.2) सामान्य समाधान

• $ \sin \theta=\sin \alpha \Rightarrow \theta=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \alpha $ यहाँ $ \alpha \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \mathrm{n} \in \mathrm{I} .$

• $\cos \theta=\cos \alpha \Rightarrow \theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \alpha \ $ यहाँ $ \alpha \in[0, \pi], \mathrm{n} \in \mathrm{I}.$

• $ \tan \theta = \tan \alpha \Rightarrow \theta = n \pi + \alpha $ जहां $ \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, $ n \in \mathbb{Z} $.

• $\sin ^{2} \theta=\sin ^{2} \alpha, \cos ^{2} \theta=\cos ^{2} \alpha, \tan ^{2} \theta=\tan ^{2} \alpha \Rightarrow \theta=\mathrm{n} \pi \pm \alpha$.