एक अंकगणितीय प्रगति (एपी): $a, a+d, a+2 d, \ldots \ldots . . a+(n-1) d$ एक एपी है

होने देना $a$ पहला पद हो और $d$ तो, एक एपी का सामान्य अंतर हो $n^{\text {th }}$ अवधि $=t_{n}=a+(n-1) d$

प्रथम का योग $\mathbf{n}$ की शर्तें एपी हैं

$$ \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}[2 \mathrm{a}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}]= \frac{\mathrm{n}}{2}[\mathrm{a}+\ell] $$

$r^{\text {th }}$ एपी की अवधि जब पहले का योग $r$ शर्तें दी गई है $t_{r}=S_{r}-S_{r-1}$.

एपी की संपत्तियाँ

(i) यदि $a, b, c$ एपी में हैं $\Rightarrow 2 b=a+c $ & अगर $a, b, c, d$ एपी में हैं $\Rightarrow a+d=b+c$.

(ii) एपी में तीन संख्याएँ ली जा सकती हैं $a-d, a, a+d$; एपी में चार संख्याएँ ली जा सकती हैं $a-3 d, a-d, a+d, a+3 d$; AP में पाँच संख्याएँ हैं $a-2 d, a-d, a, a+d, a+2 d $ और एपी में छह पद हैं $a$ $-5 d, a-3 d, a-d, a+d, a+3 d, a+5 d$ वगैरह।

(iii) आरंभ और अंत से समदूरस्थ एपी के पदों का योग $=$ प्रथम &अंतिम पद का योग.

अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत) (एएम):

यदि तीन पद AP में हैं तो मध्य पद को अन्य दो के बीच का AM कहा जाता है, इसलिए यदि a, b, c AP में हैं, तो b, a & c का AM है।

n-दो संख्याओं के बीच अंकगणितीय साधन:

अगर $a, b$ क्या कोई दो संख्याएँ दी गई हैं और $ a, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}, b$ में हैं $A . P$. तब $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n}$ के बीच n AM हैं $a$ & $b .$

$A_{1}=a+\frac{b-a}{n+1}, A_{2}=a+\frac{2(b-a)}{n+1}, \ldots \ldots, A_{n}=a+\frac{n(b-a)}{n+1}$

$ \sum_{r=1}^{n} A_{r}= $ n A जहां A बीच में एकल AM है $ a $ & $बी . $

ज्यामितीय अनुक्रम:

ए, $a r, a r^{2}, a r^{3}, a r^{4}, \ldots \ldots$ एक GP है जिसका पहला पद a है & $r$ सामान्य अनुपात के रूप में.

(मैं) $\quad n^{\text {th }}$ अवधि $=\operatorname{ar}^{n-1}$

(ii) पहले का योग $n$ शर्तें यानी $$ S_{n} = \frac{a(r^n -1)}{r-1} , r \ne 1 $$

$$ na , r = 1 $$

(iii) अनंत जीपी का योग जब |r| <1 द्वारा दिया गया है

$ S_\infty = \frac{a}{1-r} (|r| < 1) $

ज्यामितीय साधन (माध्य आनुपातिक) (जीएम):

अगर $a, b, c>0$ जीपी में हैं, $b$ के बीच जीएम है $a$ &amp; $c$, तब $b^{2}=a c$

n-ज्यामितीय साधन धनात्मक संख्या के बीच $a$, $b$ : अगर $a, b$ दो दी गई संख्याएँ हैं &amp; $a, G_{1}, G_{2}, \ldots . ., G_{n}$, $b$ जीपी में हैं. तब $G_{1}, G_{2}, G_{3}, \ldots, G_{n}$ हैं $n$ बीच में जीएम $a$ &amp; $b$.

$G_{1}=a(b / a)^{1 / n+1}, G_{2}=a(b / a)^{2 / n+1}, \ldots \ldots, G_{n}=a(b / a)^{n / n+1}$

हार्मोनिक माध्य (एचएम):

अगर $a, b, c$ हिमाचल प्रदेश में हैं, $b$ के बीच एचएम है $a$ &amp; $c$, तब $b=\frac{2 a c}{a+c}$.

एचएम $H$ का $a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots . . a_{n}$ द्वारा दिया गया है $\frac{1}{H}=\frac{1}{n}\left[\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots \ldots .+\frac{1}{a_{n}}\right]$

साधनों के बीच संबंध :

$\mathrm{G}^{2}=\mathrm{AH}, \quad$ पूर्वाह्न $\geq$ जीएम $\geq$ एचएम और एएम $=$ जीएम $=$ एचएम

अगर $a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots \ldots \ldots . .=a_{n}$

महत्वपूर्ण परिणाम

(मैं) $\sum_{r=1}^{n}\left(a_{r} \pm b_{r}\right)=\sum_{r=1}^{n} a_{r} \pm \sum_{r=1}^{n} b_{r}$.

(ii) $\sum_{r=1}^{n} k a_{r}=k \sum_{r=1}^{n} a_{r}$.

(iii) $\sum_{r=1}^{n} k=n k$; कहाँ $k$ एक स्थिरांक है.

(iv) $\sum_{r=1}^{n} r=1+2+3+\ldots \ldots \ldots . .+n=\frac{n(n+1)}{2}$

(वी) $\sum_{r=1}^{n} r^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots \ldots \ldots \ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(vi)$ \sum_{r=1}^{n} r^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots \ldots \ldots . .+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $

(vii)$ 2 \sum_{i<j=1}^{n} a_{i} a_{j}=(a_{1}+a_{2}+\ldots \ldots \ldots+a_{n})^{2}-(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots \ldots+a_{n}^{2}) $