1. द्विघात समीकरण : $a x^{2}+b x+c=0, a \neq 0$

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, इजहार $b^{2}-4 a c=D$ द्विघात समीकरण का विभेदक कहलाता है।

अगर $\alpha, \beta$ तो फिर जड़ें हैं

(ए) $\alpha+\beta=-\frac{b}{a} \quad$

(बी) $\alpha \beta=\frac{c}{a}$

एक द्विघात समीकरण जिसके मूल हैं $\alpha$ & $\beta$, है

$(x-\alpha)(x-\beta)=0$ अर्थात $x^{2}-(\alpha+\beta) x+\alpha \beta=0$

2. जड़ों की प्रकृति:

3. सामान्य जड़ें:

दो द्विघात समीकरणों पर विचार करें $a_1 x^2 + b_1 x+c_1 = 0 a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2} = 0$.

(i) यदि दो द्विघात समीकरणों के दोनों मूल उभयनिष्ठ हों, तो $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$.

(ii) यदि केवल एक जड़ है $\alpha$ तो यह आम बात है

$\alpha=\frac{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}{a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}}=\frac{b_{1} c_{2}-b_{2} c_{1}}{c_{1} a_{2}-c_{2} a_{1}}$

4. द्विघात अभिव्यक्ति की सीमा $f(x)=a x^{2}+b x+c$.

प्रतिबंधित डोमेन में सीमा: दिया गया $x \in\left[x_{1}, x_{2}\right]$

(ए) यदि $-\frac{b}{2 a} \notin\left[x_{1}, x_{2}\right]$ तब, $f(x)\in [\min( {f (x_1), f(x_2)} )]$, $\quad \max {f(x_1), f(x_2)}$

(बी) यदि $-\frac{b}{2 a} \in [x_{1}, x_{2}]$ तब,

$f(x)\in[\min {f(x_1), f(x_2),-\frac{D}{4 a}} , \quad \max {f(x_1), f(x_2),-\frac{D}{4 a}}]$

5. जड़ों का स्थान:

होने देना $f(x)=a x^{2}+b x+c$, कहाँ $a>0$ & $a \cdot b \cdot c \in R$.

(i) दोनों जड़ों के लिए शर्तें $f(x)=0$ एक निर्दिष्ट संख्या से अधिक होना’ $x_{0}$ ’ हैं $b^2 - 4 a c \geq 0;$ $ f(x_0)>0 $ & $(-b / 2 a) > x_0 $.

(ii) दोनों जड़ों के लिए शर्तें $f(x)=0$ एक निर्दिष्ट संख्या से छोटा होना ’ $x_{0}$ ’ हैं $b^2 - 4 a c \geq 0 ;$ $ f(x_0)>0$ & $(-b / 2 a) < x_0 $.

(iii) दोनों जड़ों के लिए शर्तें $f(x)=0$ संख्या के दोनों ओर झूठ बोलना ’ $ x_0 $ ’ (दूसरे शब्दों में संख्या ’ $ x_0 $ ‘की जड़ों के बीच स्थित है $ f(x) = 0 $ ), है $ f(x_0)<0$.

(iv) ऐसी स्थितियाँ कि दोनों जड़ें $f(x)=0$ संख्याओं के बीच सीमित होना $x_{1}$ और $x_{2},(x_{1}<x_{2})$ हैं $b^{2}-4 ac \geq 0 ;$ $f(x_{1})>0 ; $ $f(x_{2})>0 $ & $x_{1} < (-b / 2 a)<x_{2} $.

(v) बिल्कुल एक जड़ के लिए शर्तें $f(x)=0$ अंतराल में झूठ बोलना $(x_{1}, x_{2})$ अर्थात $ x_{1}<x<x_{2}$ है $f(x_{1}) \cdot f(x_{2})<0$.