1. संभाव्यता की शास्त्रीय (प्राथमिक) परिभाषा:

यदि किसी प्रयोग का कुल परिणाम निकलता है $(m+n)$ ऐसे परिणाम जो एक दूसरे के साथ समान रूप से संभावित और परस्पर अनन्य हैं और यदि ’ $m$ ‘परिणाम किसी घटना के अनुकूल होते हैं’ $A$ ’ जबकि ’ $n$ ‘प्रतिकूल हैं, तो घटना ‘ए’ के घटित होने की संभावना $\tiny{=P(A)=\frac{m}{m+n}=\frac{n(A)}{n(S)}}$.

हम कहते हैं कि हालात ‘के पक्ष में हैं’ $A$ ’ हैं $m$ : $n$, जबकि ‘विरुद्ध संभावनाएँ’ $A$ ’ हैं $n: m$.

$\tiny{P(\bar{A})=\frac{n}{m+n}=1-P(A)}$

2. संभाव्यता का जोड़ प्रमेय :

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

डी मॉर्गन के नियम:

(ए) $(A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c}$

(बी) $(A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c}$

वितरणात्मक कानून:

(ए) $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$

(बी) $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$

(मैं) $P(A$ या $B$ या $C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(B \cap C)-P(C \cap A)+P(A \cap B \cap C)$

(ii) $ P$ (कम से कम दो $A, B, C$ घटित होना $)=P(B \cap C)+P(C \cap A)+P(A \cap B)-2 P(A \cap B \cap C)$

(iii) $P($ बिल्कुल दो $A, B, C$ घटित होना $)=P(B \cap C)+P(C \cap A)+P(A \cap B)-3 P(A \cap B \cap C)$

(iv) $P($ बिलकुल एक $A, B, C$ घटित होना $)=$ $P(A)+P(B)+P(C)-2 P(B \cap C)-2 P(C \cap A)-2 P(A \cap B)+3 P(A \cap B \cap C)$

3. सशर्त संभाव्यता : $P(A / B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

4. द्विपद संभाव्यता प्रमेय

यदि कोई प्रयोग ऐसा है जिसके सफल या असफल होने की संभावना परीक्षणों के साथ नहीं बदलती है, तो बिल्कुल सही मिलने की संभावना $r$ में सफलता $n$ एक प्रयोग का परीक्षण है ${ }^{n} C_{r} p^{r} q^{n-r}$, कहाँ ’ $p$ ’ एक सफलता की संभावना है और $q$ विफलता की संभावना है. ध्यान दें कि $p+q=1$.

5. अपेक्षा :

यदि कोई मान $M_{1}$ की संभावना से जुड़ा है $p_{1}$, तो अपेक्षा दी जाती है $\Sigma p_{1} M_{1}$

6. कुल संभाव्यता प्रमेय :

$\quad P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A / B_{i}\right)$

7. बेयस प्रमेय :

यदि कोई घटना $A$ में से किसी एक के साथ घटित हो सकता है $n$ परस्पर अनन्य और संपूर्ण घटनाएँ $B_{1}, B_{2}, \ldots \ldots, B_{n}$ और

सम्भावनाएँ $P\left(A / B_{1}\right), P\left(A / B_{2}\right) \ldots . P\left(A / B_{n}\right)$ तो फिर ज्ञात हैं $P\left(B_{1} / A\right)=\frac{P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A / B_{i}\right)}{\sum_{i=1}^{n} P\left(B_{i}\right) \cdot P\left(A / B_{i}\right)}$

$B_{1}, B_{2}, B_{3} \ldots \ldots, B_{n}$

$A=\left(A \cap B_{1}\right) \cup\left(A \cap B_{2}\right) \cup\left(A \cap B_{3}\right) \cup \ldots \ldots . \cup\left(A \cap B_{n}\right)$

$P(A)=P\left(A \cap B_{1}\right)+P\left(A \cap B_{2}\right)+\ldots \ldots+P\left(A \cap B_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A \cap B_{i}\right)$

8. द्विपद संभाव्यता वितरण :

(i) यादृच्छिक चर के किसी भी संभाव्यता वितरण का माध्य इस प्रकार दिया गया है: $\mu=\frac{\Sigma p_{i} x_{i}}{\Sigma p_{i}}=\Sigma p_{i} x_{i}$

(ii) एक यादृच्छिक चर का प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है, $\sigma^{2}=\Sigma\left(x_{i}-\mu\right)^{2} \cdot p_{i}=\Sigma p_{i} x_{i}^{2}-\mu^{2}$