1. व्यवस्था:

के क्रमपरिवर्तन की संख्या $n$ अलग-अलग चीजें ली गईं $r$ एक ही समय पर $=$

${ }^{n} P_{r}=n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)=\hspace{5mm} \frac{n !}{(n-r) !}$

2. वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन :

के वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन की संख्या $n$ एक ही समय में अलग-अलग चीजें ली जाती हैं; $(n-1)$ !

3. चयन : के संयोजनों की संख्या $n$ अलग-अलग चीजें ली गईं $r$ एक ही समय पर $={ }^{n} C_{r}=\frac{n !}{r !(n-r) !}=\frac{{ }^{n} P_{r}}{r !}$

4. ‘के क्रमपरिवर्तन की संख्या $n$ ‘चीजें, एक समय में ली गईं, जब’ $p$ ‘उनमें से समान & एक प्रकार के हैं, $q$ उनमें से समान & अन्य प्रकार के हैं, ’ $r$ ‘उनमें से समान हैं & तीसरे प्रकार के & शेष हैं $n-(p+q+r)$ क्या सभी अलग हैं? $\frac{n !}{p ! q ! r !}$.

5. एक या अधिक वस्तुओं का चयन

(ए) उन तरीकों की संख्या जिनमें से कम से कम एक वस्तु का चयन किया जाए $n$ ’ विशिष्ट वस्तुएं हैं

$ { }^ {n} C_ {n}=2^{n}-1 $

(बी) उन तरीकों की संख्या जिनमें से कम से कम एक वस्तु का चयन किया जा सकता है $p$ ‘एक ही प्रकार की समान वस्तुएँ’ $q$ ‘दूसरे प्रकार की समान वस्तुएं और’ $r$ ’ तीसरे प्रकार का समान है

$$ (पी+1)(क्यू+1)(आर+1)-1 $$

(सी) उन तरीकों की संख्या जिनमें से कम से कम एक वस्तु का चयन किया जा सकता है ’ $n$ ‘ऑब्जेक्ट्स जहां’ $p$ ‘एक ही प्रकार का’ $q$ ‘दूसरे प्रकार के समान और’ $r$ ’ तीसरे प्रकार और बाकी के समान

$ n-(p+q+r)$ भिन्न हैं, है

$(p+1)(q+1)(r+1) 2^{n-(p+q+r)}-1 $

6. बहुपद प्रमेय :

का गुणांक $X^{r}$ के विस्तार में $(1-x)^{-n}={ }^{n+r-1} C_{r}(n \in N)$

7. चलो $N=p^{a} q^{b} r^{c} \ldots .$. कहाँ $p, q, r \ldots \ldots$ अलग-अलग अभाज्य हैं & $a, b, c \ldots .$. तो फिर प्राकृतिक संख्याएँ हैं:

(ए) के विभाजकों की कुल संख्या $\mathrm{N}$ 1 & N सहित है $=(\mathrm{a}+1)(\mathrm{b}+1)(\mathrm{c}+1) \ldots \ldots \ldots$

(बी) इन विभाजकों का योग है $=$

$ \left(p^{0}+p^{1}+p^{2}+\ldots .+p^{a}\right)\left(q^{0}+q^{1}+q^ {2}+\ldots .+q^{b}\right)$ $\left(r^{0}+r^{1}+r^{2}+\ldots .+r^{c}\right) \ldots \ldots $

(सी) तरीकों की संख्या $\mathrm{N}$ दो कारकों के उत्पाद के रूप में हल किया जा सकता है

$=\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1) \ldots . \hspace{2mm} \text { if } N $ एक पूर्ण वर्ग नहीं है

$\frac{1}{2}[(a+1)(b+1)(c+1) \ldots+1] \hspace{2mm} \text { if } N $ एक पूर्ण वर्ग है

(डी) एक भाज्य संख्या के तरीकों की संख्या $\mathrm{N}$ दो कारकों में हल किया जा सकता है जो अपेक्षाकृत अभाज्य (या सहअभाज्य) एक दूसरे के बराबर हैं $2^{n-1}$ कहाँ $\mathrm{n}$ में विभिन्न अभाज्य कारकों की संख्या है $\mathrm{N}$.

8. व्यवस्था :

उन तरीकों की संख्या जिनमें ’ $n$ ‘पत्र डाले जा सकते हैं’ $n$ ‘संबंधित लिफाफे ऐसे कि कोई पत्र न जाए

सही लिफाफा है $n !\left(1-\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}-\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !} \ldots \ldots \ldots .+(-1)^{n} \frac{1}{n !}\right)$