1.कुछ प्राथमिक कार्यों का विभेदन

1. $\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n x^{n-1}$

2. $\frac{d}{d x}\left(a^{x}\right)=a^{x} \ell n a$

3. $\frac{d}{d x}(\ell n|x|)=\frac{1}{x}$

4. $\frac{d}{d x}\left(\log _{a} x\right)=\frac{1}{x \ell n}$

5. $\frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x$

6. $\frac{d}{d x}(\cos x)=-\sin x $

7. $\cdot \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x$

8. $\frac{d}{d x}(\operatorname{cosec} x)=-\operatorname{cosec} x \cot x$

9. $\frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x$

10. $\frac{d}{d x}(\cot x)=-\operatorname{cosec}^{2} x$

2. बुनियादी प्रमेय

1. $\frac{d}{d x}(f \pm g)=f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x)$

2. $\frac{d}{d x}(k f(x))=k \frac{d}{d x} f(x)$

3. $\frac{d}{d x}(f(x) \cdot g(x))=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x)$

4. $\frac{d}{d x}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}$

5. $\frac{d}{d x}(f(g(x)))=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)$

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का व्युत्पन्न।

$ \frac{d \sin ^{-1} x}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \frac{d \cos ^{-1} x}{ dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $ ,for $-1

$ \frac{d \tan ^{-1} x}{dx}=\frac{1}{1+x^{2}}, \frac{d \cot ^{-1} x}{dx}=- \frac{1}{1+x^{2}} \quad(x \in R) $

$ \frac{d \sec ^{-1} x}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}$, $\frac{d \cosec ^{-1} x}{d x}=-\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}$, के लिए $ x \in(-\infty $ ,$-1) \cup (1 $ , $ \infty )$

3. प्रतिस्थापन का उपयोग करके विभेदन

इन अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए सामान्यतः निम्नलिखित प्रतिस्थापनों का उपयोग किया जाता है।

(मैं) $\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}$ प्रतिस्थापित करके $x=a \tan \theta$, कहाँ $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

(ii) $\sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{x}^{2}}$ प्रतिस्थापित करके $x=a \sin \theta$, कहाँ $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

(iii) $\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}} \quad$ प्रतिस्थापित करके $\mathrm{x}=\mathrm{a} \sec \theta$, कहाँ $\theta \in[0, \pi], \quad \theta \neq \frac{\pi}{2}$

(iv) $\sqrt{\frac{x+a}{a-x}}$ प्रतिस्थापित करके $x=a \cos \theta$, कहाँ $\theta \in(0, \pi]$.

4. पैरामीट्रिक विभेदन

अगर $y=f(\theta)$ &amp; $ x=g(\theta)$ कहाँ $\theta$ तो फिर एक पैरामीटर है $\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d \theta}{d x / d \theta}$.

5. एक फ़ंक्शन का दूसरे के संबंध में व्युत्पन्न

होने देना $y=f(x) ; z=g(x)$ तब $\frac{d y}{d z}=\frac{d y / d x}{d z / d x}=\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$.