1. संयोजन के गुण:

$\quad$ यदि $ A, B \ \text{तथा} \ C $ एक ही क्रम के मैट्रिक्स हैं, तो

$\quad$ (1.1) (संचालन का नियम) $$ A + B = B + A $$

$\quad$ (1.2) (संयोजन का घननात्मक नियम) $$(A + B) + C = A + (B + C) $$

$\quad$ (1.3) (संयोजनीय अभिकरण की अस्तित्व) $$ A + O = O + A = A$$

$\quad$ जहाँ $O$ मैट्रिक्स जो कि मैट्रिक्स की संयोजनीय पहचान है

$\quad$ (1.4) (संयोजनीय विपरीत) $$ A + B = O = B + A $$

$\quad B $ को $A$ का संयोजनीय विपरीत कहा जाता है और इसी तरह $A$ को $A$ का संयोजनीय विपरीत कहा जाता है

2. संकलन के गुण:

$\quad $ यदि $ A, B \ \text{तथा} \ C $ एक ही क्रम के मैट्रिक्स हैं और $λ, µ $ कोई भी दो स्केलर है तो

$\quad$ (2.1) $ \quad \lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B $

$\quad$ (2.2) $\quad (\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A$

$\quad$ (2.3) $\quad \lambda(\mu A) = (\lambda \mu)A = \mu(\lambda A)$

$\quad$ (2.4) $\quad (-\lambda A) = - (\lambda A) = \lambda(-A)$

$\quad$ (2.5) $\quad \text{tr} (kA) = k \text{tr} (A)$

3. मैट्रिक्स के प्रकार:

$\quad$ (3.1) सममिश्रित मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A=\left[a_{ij}\right]$ को सममिश्रित मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $a_{ij}=a_{ji}$ सभी $i, j$ के लिए।

$\quad$ 3.2 स्केल-सममिश्रित मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A$ को स्केल-सममिश्रित माना जाता है जब $a_{ij}=-a_{ji}$ हर $i, j$ के लिए।

$\quad$ (3.3) समसाम्यिक

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A=\left[a_{ij}\right]$ को समसाम्यिक मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $A=A^\dagger$

$\quad $ (3.3) स्केल-समसाम्यिक

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A=\left[a_{ij}\right]$ को स्केल-समसाम्यिक मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $A=-A^\dagger$

$\quad $ (3.4) समलम्ब मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A$ समलम्ब होती है अगर $AA^\top=I_n=A^\top A$।

$\quad $ (3.5) स्वक्षेपक मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A$ स्वक्षेपक होती है अगर $A^2=A$।

$\quad $ (3.6) आवश्यक मैट्रिक्स आवश्यक मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A$ आवश्यक होती है अगर $A^2=I$ या $A^{-1}=A$।

(3.7) शून्यमान मैट्रिक्स

$\quad \quad$ एक वर्गीय मैट्रिक्स $A$ शून्यमान होती है यदि $p \in \mathbb{N} \ \text{ऐसा है कि} \ A^{p} = O$

4. मैट्रिक्स के निर्धारण के गुण

$\quad$ (4.1) $\quad \operatorname{tr}(\lambda \mathrm{A})=\lambda \operatorname{tr}(\mathrm{A})$

$\quad$ (4.1) $\quad \operatorname{tr}(\mathrm{A}+\mathrm{B})=\operatorname{tr}(\mathrm{A})+\operatorname{tr}(\mathrm{B})$

$\quad$ (4.1) $\quad \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$

5. मैट्रिक्स के प्रतिष्ठान के गुण:

$\quad$ (5.1) $\quad \left(A^T\right)^T=A$

$\quad$ (5.2) $\quad (A \pm B)^{\top}=A^{\top} \pm B^{\top}$

$\quad$ (5.3) $\quad (A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top}$

$\quad$ (5.4) $\quad (k A)^{\top}=k(A)^{\top}$

$\quad$ (5.5) $\quad \left(A_1 A_2 A_3\right.$ ..$\left.A_{n-1} A_n\right)^{\top}=A_n^{\top} A_{n-1}^{\top}$ $A_3^{\top} A_2^{\top} A_1^{\top}$

$\quad$ (5.6) $\quad I^{T}=I$

इसका ही संस्करण है:

$\quad$ (5.7) $\quad \operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}\left(A^{\top}\right)$

6. प्रॉपर्टीज ऑफ़ मैट्रिक्स गुणा:

$\quad$ (6.1) $\quad \mathrm{AB} \neq \mathrm{BA}$

$\quad$ (6.2) $\quad (\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})$

$\quad$ (6.3) $\quad A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$

$\quad$ (6.4) $\quad \ \text{दो मैट्रिक्स का गुणा शून्य मैट्रिक्स हो सकता है, जबकि इनमें से कोई भी शून्य नहीं है, अर्थात} \ AB = 0 $,

$\quad \quad \quad \quad \quad \text{जरूरी नहीं है कि न कोई} \ $ A = O $ \text{हो और न कोई} $ B = O

$\quad$ (6.5) $\quad tr(AB) = tr(BA)$

$\quad$ (6.6) $\quad$ अगर $AB = AC ⇒ B ≠ C \ \text{(कैंसलेशन कानून लागू नहीं होता)} $

7. प्रॉपर्टीज ऑफ़ अडजॉइंट ऑफ़ अ मैट्रिक्स:

$\quad$ (7.1) $\quad A(\operatorname{adj} A)=(\operatorname{adj} A) A=|A| I_n$

$\quad$ (7.2) $\quad|\operatorname{adj} A|=|A|^{n-1}$

$\quad$ (7.3) $\quad(\operatorname{adj} A B)=(\operatorname{adj} B)(\operatorname{adj} A)$

$\quad$ (7.4) $\quad\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)=|A|^{n-2}$

$\quad$ (7.5) $\quad(\operatorname{adj} K A)=K^{n-1}(\operatorname{adj} A)$

8. प्रॉपर्टीज ऑफ़ इनवर्स ऑफ़ अ मैट्रिक्स:

$\quad \mathrm{A}^{-1}$ का अस्तित्व होता है यदि $\mathrm{A}$ गैर-सिंगुलर है अर्थात $|\mathrm{A}| \neq 0$

$\quad$ (8.1) $\quad\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~A}|}(\operatorname{Adj} . \mathrm{A})$

$\quad$ (8.2) $\quad\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~A}=\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\mathrm{AA}^{-1}$

$\quad$ (8.3) $\quad\left(A^{\top}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top}$

$\quad$ (8.4) $\quad\left(\mathrm{A}^{-1}\right)^{-1}=\mathrm{A}$

$\quad$ (8.5) $\quad\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$

9. पॉजिटिव इंटीगर पावर्स ऑफ़ अ स्क्वेयर मैट्रिक्स की प्रॉपर्टीज:

$\quad$ (9.1) $\quad A^m A^n = A^{m+n} $

$\quad$ (9.2) $\quad (A^m)^n = A^{mn} = (A^n)^m$

$\quad$ (9.3) $\quad I^n = I$

$\quad$ (9.4) $\quad A^0 = I_n$

10. सिस्टम के समाधान की प्रॉपर्टीज:

$\quad$ (10.1) $\quad$ अगर |$A$| ≠ $O$ है, $\text{तो सिस्टम संगठित है और एकमात्र समाधान है, जो } X = A^{–1} B$ के रूप में दिया जा सकता है

$\quad$ (10.2) $\quad$ अगर |$A$| =$ O$ है, और $(Adj A) B ≠ O$, $\text{तो सिस्टम असंगत है} $

$\quad$ (10.3) $\quad$ अगर |$A$| = $O$, और $(Adj A) B = O$, $\text{तो सिस्टम संगठित है और अनंत समाधान है}$.

• $AX = O$ $\text{होमोजेनियस लीनियर समीकरण प्रणाली के रूप में जानी जाती है, यहां }$ $B = 0$ है।
• $\text{होमोजेनियस समीकरण प्रणाली का सिस्टम हमेशा संगठित होता है}$।
• $\text{यदि} $ $|A| = 0$ $\text{हो, तो सिस्टम एक गैर-खाली समाधान (गैर-शून्य समाधान) है।}$