1. यदि $f$ & $g$ के कार्य हैं $x$ ऐसा है कि $g^{\prime}(x)=f(x)$ तब,

$\int f(x) d x=g(x)+c \Leftrightarrow \frac{d}{d x}{g(x)+c}=f(x)$, कहाँ $c$ एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है।

2. मानक सूत्र:

(मैं) $\int(a x+b)^{n} d x=\frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}+c, n \neq-1$

(ii) $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \operatorname{\ell n}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{c}$

(iii) $\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+c$

(iv) $\int \mathrm{a}^{\mathrm{px+q}} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{p}} \frac{\mathrm{a}^{\mathrm{px}+\mathrm{q}}}{\ln \mathrm{a}}+\mathrm{c} ; a>0$

(वी) $\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+c$

(vi) $\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+c$

(vii) $\quad \int \tan (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln \sec (a x+b)+c$

(viii) $\int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln \sin (a x+b)+c$

(ix) $\int \sec ^{2}(a x+b) d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+c$

(एक्स) $\int \operatorname{cosec}^{2}(a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+c$

(xiii) $\int \sec x d x=\ell n (\sec x+\tan x)+c$

या $\quad$ $\ell n \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)+c$

(xiv) $\int \operatorname{cosec} x d x=\ell n(\operatorname{cosec} x-\cot x)+c$ या $\ell n \tan \frac{x}{2}+c$ या $-\ell n(\operatorname{cosec} x+\cot x)+c$

(xv) $\quad \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+c$

(xvi) $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \tan ^{-1} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\mathrm{c}$

(xvii) $\int \frac{d x}{|x| \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \sec ^{-1} \frac{x}{a}+c$

(xviii) $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}}=\operatorname{\ell n}\left[\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}\right]+\mathrm{c}$

(xix) $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}}=\ell \mathrm{n}\left[\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}\right]+\mathrm{c}$

(xx) $\quad \int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{2 \mathrm{a}} \operatorname{\ell n}\left|\frac{\mathrm{a}+\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{x}}\right|+\mathrm{c}$

(xxi) $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}=\frac{1}{2 \mathrm{a}} \ell \mathrm{n}\left|\frac{\mathrm{x}-\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\right|+\mathrm{c}$

(xxii) $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+c$

(xiii) $\int \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2} \sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \ln \left(\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{a}^{2}}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$

(xxiv) $\int \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2} \sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}-\frac{\mathrm{a}^{2}}{2} \ln \left(\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{2}}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{c}$

3. सब्सिट्यूशन द्वारा एकीकरण

यदि हम स्थानापन्न करते हैं $f(x)=t$, तब $f^{\prime}(x) d x=d t$

4. भाग द्वारा एकीकरण :

$$ \int(f(x) g(x)) dx=f(x) \int(g(x)) d x- $$ $$ \int (\frac{d}{dx}(f(x)) \int(g(x)) dx) dx $$

प्रतिस्थापन करें $x+\frac{b}{2 a}=t$

6. प्रकार का एकीकरण

$$ \int \frac{p x+q}{ax^{2}+b x+c} dx, \int \frac{p x+q}{\sqrt{ax^{2}+b x+c}} डीएक्स,$$ $$\int(p x+q) \sqrt{ax^{2}+b x+c} dx $$

प्रतिस्थापन करें $x+\frac{b}{2 a}=t$, फिर समाकलन को दो समाकलों में से कुछ के रूप में विभाजित करें जिनमें से एक में रैखिक पद है और दूसरे में स्थिर पद है।

7. त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण

(मैं) $\int \frac{d x}{a+b \sin ^{2} x}$ या $\int \frac{d x}{a+b \cos ^{2} x}$ या $\int \frac{d x}{a \sin ^{2} x+b \sin x \cos x+c \cos ^{2} x}$ रखना $\tan x=t$.

(ii) $\int \frac{d x}{a+b \sin x}$ या $\int \frac{d x}{a+b \cos x}$ या $\int \frac{d x}{a+b \sin x+c \cos x}$ रखना $\tan \frac{x}{2}=t$

(iii) $\int \frac{a \cdot \cos x+b \cdot \sin x+c}{\ell \cdot \cos x+m \cdot \sin x+n} d x$. अभिव्यक्त करना $N r \equiv A(D r)+B \frac{d}{d x}(D r)+c$ & आगे बढ़ना।

8. प्रकार का एकीकरण

$\int \frac{\mathrm{x}^{2} \pm 1}{\mathrm{x}^{4}+K \mathrm{x}^{2}+1} \mathrm{dx}$ कहाँ $\mathrm{K}$ कोई स्थिरांक है.

विभाजित करना $\operatorname{Nr}$ & $\operatorname{Dr}$ द्वारा $\mathrm{x}^{2}$ & रखना $\mathrm{x} \mp \frac{1}{\mathrm{x}}=\mathbf{t}$.

9. प्रकार का एकीकरण

$\int \frac{d x}{(a x+b) \sqrt{p x+q}}$ या $\int \frac{d x}{\left(a x^{2}+b x+c\right) \sqrt{p x+q}} ;$ रखना $ p x+q=t^{2}$.

10. प्रकार का एकीकरण

$$ \int \frac{dx}{(a x+b) \sqrt{px^{2}+q x+r}}, \text { put } a x+b=\frac{1}{t} ;$$ $$ \int \frac{dx}{\left(ax^{2}+b\right) \sqrt{px^{2}+q}} \text {, डाल } x=\frac{1}{t} $$