1. कार्यों पर क्रियाएँ:

$\quad$ (1.1) $\quad (f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$\quad$ (1.2) $\quad (f-g)(x)=f(x)-g(x)$

$\quad$ (1.3) $\quad (f.g) (x)=f(x) \cdot g(x)$

$\quad$ (1.4) $\quad (\frac{f}{g})(\mathrm{x})=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{g}(\mathrm{x})} ; \mathrm{g}(\mathrm{x}) \neq 0$

$\quad$ (1.5) $\quad (\mathrm{kf})(\mathrm{x})=\mathrm{kf}(\mathrm{x})$

2. कुछ विशेष फ़ंक्शन:

$\quad$ (2.1) $\quad$ अगर $f(x+y)=f(x)+f(y)$, तो $f(x)=k x$

$\quad$ (2.2) $\quad$ अगर $f(x y)=f(x)+f(y)$, तो $f(x)=\log x$

$\quad$ (2.3) $\quad$ अगर $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$, तो $f(x)=e^x$

$\quad$ (2.4) $\quad$ अगर $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$, तो $f(x)=x^n \pm 1$

3. महत्वपूर्ण सूत्र:

$\quad$ (3.1) $\quad$ एक सीमित संख्या $A$ से एक सीमित सेट $B$ के बीच के फ़ंक्शन की संख्या $[n(B)]^{n(A)}$ होती है

$\quad$ (3.2) $\quad$ जो एक प्रति एक कार्यों की संख्या होती है जिसको सैट A से सीमित सेट B में परिभाषित किया जा सकता है वह है $ ^n(B)P_{n(A)} = \frac{n(B)!}{(n(B) - n(A))!} $; यदि $n(B) \geq n(A)$, तब यह $0$ होता है

$\quad$ (3.3) $\quad$ एक सीमित सेट A में n तत्व शामिल होने के साथ सीमित सेट B, जो 2 तत्व शामिल करता है, में परिभाषित किए जा सकने वाले ऊपरी फंक्शन की संख्या = $2^n– 2$

$\quad$ (3.4) $\quad$ सभी से B को परिभाषित किए जा सकने वाले फ़ंक्शन की संख्या जहां, $o(A) = m, o(B) = n $ और $m \geq n$ है, वह है $\sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}(-1)^{\mathrm{n}-\mathrm{r~}}{ }^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}} \mathrm{r}^{\mathrm{m}}$

$\quad$ (3.5) $\quad$ एक सीमित सेट A से सीमित सेट B की एकवर्तिकाएँ की संख्या n(A)! होती है; यदि n(A) = n(B) है, तब 0; नहीं तो

$\quad$ (3.6) $\quad$ यदि $o(A \cap B)=n$, तो $\mathrm{o}[(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \cap(\mathrm{B} \times \mathrm{A})]=\mathrm{n}^2 $

$\quad$ (3.7) $\quad$ यदि कोई लाइन $\mathrm{X}$-अक्ष के पैरेलल है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ को लगभग एक बिंदु काटता है, तो फ़ंक्शन एक-एक है।

$\quad$ (3.8) $\quad$ यदि कम से कम एक लाइन $\mathrm{X}$-अक्ष के पैरेलल होती है, तो फ़ंक्शन को कम से कम दो बिंदुओं को काटती है, तो फ़ंक्शन बहु है।

4. डोमेन और सीमा:

$\quad$ यदि फ़ंक्शन इस रूप में होती है:

$\quad$ (4.1) $\quad \sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}$, $\quad$ इस रूप में $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0$

$\quad$ (4.2) $\quad$ $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}}$, $\quad$ इस रूप में $\mathrm{f}(\mathrm{x})>0$

$\quad$ (4.3) $\quad$ $\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}$, $\quad$ इस रूप में $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \neq 0$

5. सम-विषम फ़ंक्शन की गुणधर्मों:

$\quad$ (5.1) $\quad$ एक सम-फ़ंक्शन का ग्राफ़ सदैव y-अक्ष के बारे में सममित होता है।

$\quad$ (5.2) $\quad$ विषम फांक्सन का ग्राफ़ सदैव शुरुवात बिंदु के बारे में सममित होता है।

$\quad$ (5.3) $\quad$ दो सम या विषम फ़ंक्शन का उत्पाद एक सम फ़ंक्शन होता है।

$\quad$ (5.4) $\quad$ दो सम (विषम) फ़ंक्शन का योग और अंतर एक सम (विषम) फ़ंक्शन होता है।

$\quad$ (5.5) $\quad$ एक सम या विषम फ़ंक्शन का उत्पाद एक विषम फ़ंक्शन होता है।

इसके अनुवाद का प्रारूप हैः

$\quad$ (5.4) $\quad$ सम के लिए सम और विषम फ़ंक्शन का योग न तो सम होता है और न ही विषम।

$\quad$ (5.5) $\quad$ शून्य फ़ंक्शन, अर्थात f(x) = 0, सम और विषम दोनों होने वाला एकमात्र फ़ंक्शन है।

$\quad$ (5.6) $\quad$ अगर f(x) विषम (सम) फ़ंक्शन है, तो f’(x) सम (विषम) फ़ंक्शन होता है, यहां तक कि f(x) R पर अविभाज्य है।

$\quad$ (5.7) $\quad$ दिए गए फ़ंक्शन को सम और विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$\quad$ $\quad$ अर्थात $f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=$ सम फ़ंक्शन + विषम फ़ंक्शन

6. आवृत्ति फ़ंक्शन के गुण:

$\quad$ (6.1) $\quad$ यदि किसी फ़ंक्शन की आवृत्ति T है, तो $f(x n+a)$ की आवृत्ति T / n होगी और $f(\frac{x}{n}+a)$ की आवृत्ति n T होगी।

$\quad$ (6.2) $\quad$ यदि $f(x)$ की आवृत्ति $T_1$ है और $T_2$ की है तो, $f(x) \pm g(x)$ की आवृत्ति $T_1$ और $T_2$ के L.C.M. होगी, यदि यह आवृत्ति फ़ंक्शन की परिभाषा को पूरा करती है।

$\quad$ (6.3) $\quad$ यदि $f(x)$ और $g(x)$ की आवृत्ति समान T है, तो $af(x)+bg(x)$ की आवृत्ति भी T होगी।

7. पूर्णांक फ़ंक्शन के गुणधर्म

$\quad$ (7.1) $\quad [x+n]=n+[x], n \in I$

$\quad$ (7.2) $\quad [-x]=-[x], x \in I$

$\quad$ (7.3) $\quad [-x]=-[x]-1, x \notin I$

$\quad$ (7.4) $\quad [x] \geq n \Rightarrow x \geq n, n \in I$

$\quad$ (7.5) $\quad [x]>n \Rightarrow x \geq n+1, n \in I$

$\quad$ (7.4) $\quad [x] \leq n \Rightarrow x<n+1, n \in I$

$\quad$ (7.5) $\quad [x]<n \Rightarrow x<n, n \in I$

8. एक्सेस के गुणधर्म फ़ंक्शन

$\quad$ (8.1) $\quad {x}=x-[x]$

$\quad$ (8.2) $\quad {x}=x$, अगर $0 \leq x<1$

$\quad$ (8.3) $\quad {x}=0$, अगर $x \in I$

$\quad$ (8.4) $\quad {-x}=1-{x}$, अगर $x \notin I$

9. पूर्णरेखीय फ़ंक्शन:

$\quad$ यदि अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}>0$ होता है, तो फ़ंक्शन $f$ पूर्णरेखीय होता है।

10. पूर्णविपत्ति फ़ंक्शन:

$\quad$ अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}<0$ होता है, तो फ़ंक्शन $f$ पूर्णविपत्ति होता है।

11. स्थिर फ़ंक्शन:

$\quad$ अंतराल में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}=0$ होता है, तो फ़ंक्शन $f$ स्थिर होता है।

12. लघुन्मांक फ़ंक्शन:

$\quad$ लघुन्मांक फ़ंक्शन दिया जा सकता है $y=f(x)=log_a x$ , जहां $a > 0, a \neq 1, x > 0$

• फ़ंक्शन की ग्राफ़ $a > 1$ के लिए बढ़ती है और $0<a<1$ के लिए घटती है।

13. घटावान फ़ंक्शन:

$\quad$ घटावान फ़ंक्शन दिया जाता है $y=f(x)=a^x$ , जहां $a>0, a\neq 1$

• फ़ंक्शन की ग्राफ़ $a>1$ के लिए बढ़ती है और $0<a<1$ के लिए घटती है।

14. संयोजन फ़ंक्शन की डोमेन:

$\quad$ संयोजित फ़ंक्शन $f(g(x))$ का डोमेन उन inputs $x$ का सेट है जो $g$ के डोमेन में हों और $f(g(x))$ $f$ के डोमेन में हों।