1. निर्णयक का मूल्यांकन:

$\quad$ आदेश 3 का अड़ंग 2, निर्णयक का मूल्य है

$$(a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32})- (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11} a_{23} a_{32} + a_{12} a_{21} a_{33})$$

2. माइनर:

$\quad$ किसी तत्व का माइनर, उस तत्व कतर पंक्ति एवं स्तंभ को हटाकर प्राप्तासूत्र होता है।

3. सहयोगी:

$\quad$ सहयोगी तत्व $a_{i j}$ का माइनर के साथ संबंध है $C_{i j}(-1)^{ i+ j}M_{ij}$ जहां ‘i’ i-वां पंक्ति और ‘j’ j-वां स्तंभ को दर्शाता है जिसमें तत्व $a_{ij}$ सम्मिलित है।

4. पंक्ति और स्तंभ क्रियाएँ:

$\quad$ (4.1) $\quad R_i ↔ R_j$ या $C_i ↔ C_j$ जब i ≠ j; इस चिह्नित को इस्तेमाल किया जाता है जब हम i-वां पंक्ति (या स्तंभ) और j-वां पंक्ति (या स्तंभ) को आपस में बदलते हैं।

$\quad$ (4.2) $\quad R_i ↔ C_j$ ; यह पंक्ति को संबंधित स्तंभ में परिवर्तित करता है।

$\quad$ (4.3) $\quad R_i → k R_i$ या $C_i → kC_i$ ; k ∈ वास्तविक संख्या; इसका अर्थ होता है i-वां पंक्ति (या स्तंभ) को k से गुणा करना।

$\quad$ (4.4) $\quad R_i → k R_i + R_j$; (i ≠ j); इस चिह्न का इस्तेमाल किया जाता है i-वां पंक्ति (या स्तंभ) को k से गुणा करके इसे ज-वां पंक्ति (या स्तंभ) में जोड़ने के लिए।

5. निर्धारकों की गुणधर्म:

$\quad$ (5.1) $\quad$ प्रतिबिंब गुणधर्म

$\quad \quad \quad \quad $ निर्धारक अपरिवर्तित रहता है यदि इसके पंक्तियों को स्तंभों में बदल दिया जाता है और स्तंभों को पंक्तियों में।

$\quad$ (5.2) $\quad$ सभी-शून्य गुणधर्म

$\quad \quad \quad \quad $ यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्व शून्य हों, तो निर्धारक शून्य होता है।

$\quad$ (5.3) $\quad$ अनुपात (पुनरावृत्ति) गुणधर्म

$\quad \quad \quad \quad $ यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्व किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के तत्वों के समानांक हों, तो निर्धारक शून्य होता है।

$\quad$ (5.4) $\quad$ स्विचिंग गुणधर्म

$\quad \quad \quad \quad $ निर्धारक की किसी भी दो पंक्तियों (या स्तंभों) की प्रतिस्थापना करने से इसका चिन्ह परिवर्तित होता है।

$\quad$ (5.5) $\quad$ त्रिकोणीय गुणधर्म

$\quad \quad \quad \quad $ यदि किसी निर्धारक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों को एकजीव के द्वारा गुणा कर दिया जाता है, तो निर्धारक उसी धनात्मक मान के द्वारा गुणा कर दिया जाता है।

$\quad$ (5.6) $\quad$ योग गुणधर्म $$\left|\begin{array}{lll}a_1+b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2+b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3+b_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll}b_1 & c_1 & d_1 \\ b_2 & c_2 & d_2 \\ b_3 & c_3 & d_3\end{array}\right|$$

$\quad$ (5.7) $\quad$ Avastha-धर्म की गुणधर्म $$\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a_1+\alpha b_1+\beta c_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+\alpha b_2+\beta c_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+\alpha b_3+\beta c_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$$

यह एक संबंध ऐसा है, जहां एक गिनतीकरण $C_i \rightarrow C_i+\alpha C_j+\beta C_k$ के प्रक्रिया के तहत टैक्स के रूप में अपरिवर्तनशील रहता है, जहां $j, k \neq i$ हैं, या

एक संबंध $R_i \rightarrow R_i+\alpha R_j+\beta R_k$ के प्रक्रिया के तहत, जहां $j, k \neq i$ हैं

(5.8) कारक गुण

यदि एक गिनतीकरण $\Delta$ में हम $\mathrm{x}=\alpha$ डालने पर शून्य हो जाता है, तो $(\mathrm{x}-\alpha)$ $\Delta$ का एक कारक है।

(5.9) त्रिकोणीय गुण

यदि गिनतीकरण के मुख्य विकर्ण पर या उसके नीचे के सभी तत्वों में शून्य होते हैं, तो गिनतीकरण विकर्णों के गुणाक के बराबर होता है। यानी, $$ \left|\begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_1 & 0 & 0 \\ a_2 & b_2 & 0 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|=a_1 b_2 c_3 $$

(5.10) 2 मैट्रिक्सों के गुणाक गिनतीकरण

$$ det(AB) = det(A) det(B)$$

6. कुछ महत्वपूर्ण परिणाम:

(6.1) यदि तीन रेखाएँ हैं $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0, a_3 x+b_3 y+c_3=0 $ और इनमें से कोई तीन रेखाएँ संघटित होती हैं तो

$$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0 $$

(6.2) $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ एक सीधी रेखाओं की एक जोड़ी को दर्शाता है अगर $ a b c+2 f g h-a f^2-b g^2-c h^2=0=\left|\begin{array}{lll} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{array}\right| $

(6.3) $\left(x_r, y_r\right) ; r=1,2,3$ केवल एक व्यायाम के त्रिभुज का क्षेत्रफल है $ D=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right| $। यदि $D=0$ तो तीन बिन्दुओं का एक पंक्तिबद्ध हैं।

(6.4) $ (x_1,y_1) \ \text{और} \ (x_2,y_2) $ से गुजरने वाले एक सीधी रेखा का समीकरण है $\left|\begin{array}{lll}\mathrm{x} & \mathrm{y} & 1 \\ \mathrm{x}_1 & \mathrm{y}_1 & 1 \\ \mathrm{x}_2 & \mathrm{y}_2 & 1\end{array}\right|=0$।

(6.5) यदि किसी पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक तत्व को दो भागों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो गिनतीकरण को गिनतीकरणों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$\left|\begin{array}{ccc}a_1+x & b_1+y & c_1+z \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}x & y & z \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|$$

यह ध्यान देना चाहिए कि गिनतीकरणों पर ऑपरेशन लागू करते समय कम से कम एक पंक्ति (या स्तंभ) अपरिवर्तित रहनी चाहिए। यानी

सर्वाधिक संख्या के संयुक्त ऑपरेशन $=$ गिनतीकरण का क्रम -1

7. गिनतीकरणों का अविभाजन:

(7.1) यदि $\Delta(x)=\left|\begin{array}{ll}f_1(x) & g_1(x) \\ f_2(x) & g_2(x)\end{array}\right|$ है, जहां $f_1(x), f_2(x), g_1(x)$ और $g_2(x)$ $x$ के तत्व हैं। तो,

$$

ठहराना^{\prime}(\mathrm{x})=\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1^{\prime}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2(\mathrm{x}) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2^{\prime}(\mathrm{x}) \end{array}\right| \text { Also, } \Delta^{\prime}(\mathrm{x})=\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2^{\prime}(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2(\mathrm{x}) \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} \mathrm{f}_1(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_1^{\prime}(\mathrm{x}) \\ \mathrm{f}_2(\mathrm{x}) & \mathrm{g}_2^{\prime}(\mathrm{x}) \end{array}\right| $$

$\quad$ (7.2) $\quad$ यदि हम $\Delta(x)=\left[\begin{array}{ll}C_1 & C_2\end{array}\right]$ के लिए लिखें, जहाँ $C_i$ कोलम को प्रस्तुत करता है, तब $$\Delta^{\prime}(x)=\left[\begin{array}{ll}C_1^{\prime} & C_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}C_1 & C_2^{\prime}\end{array}\right]$$ $\quad \quad \quad $ यहां $C_i^{\prime}$ कोलम को मिलाने वाला है जो $C_i$ के वर्ग में फ़ंक्शनों की विभाजन से प्राप्त होता है।

$\quad$ (7.3) $\quad$ अगर $\Delta(x)=\left[\begin{array}{l}R_1 \\ R_2\end{array}\right]$, तो $\Delta^{\prime}(x)=\left[\begin{array}{l}R_1{ }^{\prime} \\ R_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}R_1 \\ R_2^{\prime}\end{array}\right]$ इसी तरह, हम उच्चतर क्रम के नियामकों को भी विभाजित कर सकते हैं।

8. निर्देशांकों का संयोजन:

$\quad$ अगर $f(x), g(x)$ और $h(x)$ $x$ के फ़ंक्शन हैं और $a, b, c, \alpha, \beta$ और $\gamma$ स्थिर हैं ताकि

$$ \Delta(x)=\left|\begin{array}{ccc}f(x) & g(x) & h(x) \\ a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma\end{array}\right| $$

$\quad$ तो $\Delta(x)$ का संयोजन निम्नलिखित है

$$ \int \Delta(x) d x=\left|\begin{array}{ccc}\int f(x) d x & \int g(x) d x & \int h(x) d x \\ a & b & c \\ \alpha & \beta & \gamma\end{array}\right| $$

9. 3 चरोंयुक्तियों वाली समीकरण स्थिति:

$$ a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1\\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2\\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 $$

$\quad$ इस समीकरण को हल करने के लिए हम पहले निम्न निर्धारित करते हैं

$$ \Delta=\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_1=\left|\begin{array}{lll} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_2=\left|\begin{array}{lll} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{array}\right|, \Delta_3=\left|\begin{array}{lll} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{array}\right| $$

$\quad$ अब, सिस्टम को हल करने के लिए (संरचना के लिए माप)

$\quad$ चर $\Delta$ की मान जांचें

• अगर $\Delta \neq 0$ है तो, संरचित सिस्टम और अद्वितीय समाधान होता है $$ \mathrm{x}=\frac{\Delta_1}{\Delta} ; \mathrm{y}=\frac{\Delta_2}{\Delta} ; \mathrm{z}=\frac{\Delta_3}{\Delta} $$

• $\Delta = 0$ है तो, $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ के मान जांचें

• यदि $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ में से कम से कम एक ज्ञात क्षेत्र शून्य नहीं है, तो प्रणाली असंतुलित है।

• यदि सभी $\Delta_1, \Delta_2$ और $\Delta_3$ शून्य हैं, तो $z=t$ डालें और दो समीकरणों को हल करके $x$ और $y$ के मान को $t$ के सरल रूप में प्राप्त करें।