1. द्विपद प्रमेय का कथन : यदि $a, b \in R$ और $n \in N$, तब

$(a+b)^{n}={ }^{n} C_{0} a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_{1} a^{n-1} b^{1}+{ }^{n} C_{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_{n} a^{0} b^{n}=\sum_{r=0}^{n}{ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$

2. द्विपद प्रमेय के गुण :

(i) सामान्य शब्द : $T_{r+1}={ }^{n} C_{r} a^{n-r} b^{r}$

(ii) मध्य पद :

(ए) यदि $n$ सम है, केवल एक मध्य पद है, जो है $\left(\frac{n+2}{2}\right)$ वां पद.

(बी) यदि $\mathrm{n}$ विषम है, दो मध्य पद हैं, जो हैं $\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)$ वें और $\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}+1\right)$ वें शर्तें.

3. बहुपद प्रमेय :

$\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots \ldots \ldots . x_{k}\right)^{n}=\sum_{r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{k}=n} \frac{n !}{r_{1} ! r_{2} ! \ldots r_{k} !} x_{1}^{r_{1}} \cdot x_{2}^{r_{2}} \ldots x_{k}^{r_{k}}$

यहाँ विस्तार में पदों की कुल संख्या है $={ }^{n+k-1} C_{k-1}$

4. द्विपद प्रमेय का अनुप्रयोग :

अगर $(\sqrt{A}+B)^{n}=I+f$ कहाँ $I$ और $n$ धनात्मक पूर्णांक हैं, $n$ अजीब होना और $0<f<1$ तब $(I+f) f=k^{n}$ कहाँ $A-B^{2}=k>0$ और $\sqrt{A}-B<1$.

अगर $\mathbf{n}$ तो, एक सम पूर्णांक है $(I+f)(1-f)=k^{n}$

5. द्विपद गुणांक के गुण :

(मैं) ${ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}+\ldots \ldots . .+{ }^{n} C_{n}=2^{n}$

(ii) ${ }^{n} C_{0}-{ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{2}-{ }^{n} C_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots .+(-1)^{n}{ }^{n} C_{n}=0$

(iii) ${ }^{n} C_{0}+{ }^{n} C_{2}+{ }^{n} C_{4}+\ldots .={ }^{n} C_{1}+{ }^{n} C_{3}+{ }^{n} C_{5}+\ldots .=2^{n-1}$

(iv) ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r} $

(वी) $\frac{{ }^{n} C_{r}}{{ }^{n} C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}$

6. ऋणात्मक पूर्णांक या भिन्नात्मक सूचकांकों के लिए द्विपद प्रमेय

$(1+x)^{n}=1+n x+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !}$ $x^{3}+\ldots .+\frac{n(n-1)(n-2) \ldots \ldots .(n-r+1)}{r !} x^{r}+\ldots .,|x|<1 .$

$T_{r+1}=\frac{n(n-1)(n-2) \ldots \ldots \ldots .(n-r+1)}{r !} x^{r}$