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अध्ययन नोट्स: विद्युत आवेश और विद्युत क्षेत्र

विषय सूची

1. विद्युत आवेश का परिचय
2. विद्युत आवेश के गुण
3. विद्युत क्षेत्र के मूल तत्व
4. सतत आवेश वितरण
5. सारांश

1. विद्युत आवेश का परिचय

विद्युत आवेश पदार्थ का एक मूलभूत गुणधर्म है जो विद्युतचुंबकीय बलों को उत्पन्न करता है।

2. विद्युत आवेश के गुण

2.1 मूल विशेषताएँ

• विद्युत आवेश क्वांटित होता है
  आवेश की सबसे छोटी इकाई मूलभूत आवेश है $ e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} $।

• विद्युत आवेश संरक्षित होता है
  एक पृथक प्रणाली में कुल आवेश स्थिर रहता है।

• विद्युत आवेश योगात्मक होता है
  आवेशों को बीजगणितीय रूप से जोड़ा जा सकता है।

2.2 विद्युत आवेश के प्रकार

• धनात्मक आवेश: इलेक्ट्रॉनों की कमी।
• ऋणात्मक आवेश: इलेक्ट्रॉनों की अधिकता।

2.3 आवेश की अन्योन्यक्रिया

• समान आवेश प्रतिकर्षित करते हैं
  $ +q \times +q \rightarrow \text{प्रतिकर्षण} $

• असमान आवेश आकर्षित करते हैं
  $ +q \times -q \rightarrow \text{आकर्षण} $

3. विद्युत क्षेत्र के मूल तत्व

3.1 विद्युत क्षेत्र की परिभाषा

विद्युत क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु पर प्रति इकाई आवेश पर लगने वाले बल का वर्णन करता है।

$$ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q} $$

जहाँ:

• $ \mathbf{E} $ विद्युत क्षेत्र सदिश है
• $ \mathbf{F} $ आवेश पर लगने वाला बल है
• $ q $ परीक्षण आवेश है

3.2 बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र

$$ E = \frac{kq}{r^2} $$

जहाँ:

• $ E $ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है
• $ k $ कूलॉम का स्थिरांक है $ (8.99 \times 10^9 \text{ N·m}^2/\text{C}^2) $
• $ q $ बिंदु आवेश है
• $ r $ आवेश से दूरी है

3.3 विद्युत क्षेत्र रेखाएँ

3.4 एकाधिक आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र

• अध्यारोपण का सिद्धांत: कुल विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों के सदिश योग के बराबर होता है।
• उदाहरण: दो आवेशों $ q_1 $ और $ q_2 $ के कारण एक बिंदु पर क्षेत्र: $$ \mathbf{E}_{\text{कुल}} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 $$

4. सतत आवेश वितरण

4.1 रैखिक आवेश वितरण

• रैखिक आवेश घनत्व $ \lambda = \frac{dq}{dl} $
• उदाहरण: कुल आवेश $ Q $ और लंबाई $ L $ वाला आवेशित छड़: $$ \lambda = \frac{Q}{L} $$

4.2 पृष्ठीय आवेश वितरण

• पृष्ठीय आवेश घनत्व $ \sigma = \frac{dq}{dA} $
• उदाहरण: कुल आवेश $ Q $ और क्षेत्रफल $ A $ वाला आवेशित प्लेट: $$ \sigma = \frac{Q}{A} $$

4.3 आयतन आवेश वितरण

• आयतन आवेश घनत्व $ \rho = \frac{dq}{dV} $
• उदाहरण: कुल आवेश $ Q $ और आयतन $ V $ वाला आवेशित गोला: $$ \rho = \frac{Q}{V} $$

4.4 सतत वितरण से विद्युत क्षेत्र

• समाकलन विधि: अत्यल्प आवेश अवयवों के योग के लिए समाकलन का उपयोग करें।
• रैखिक वितरण के लिए उदाहरण: $$ E = \int \frac{k , dq}{r^2} $$

5. सारांश

मुख्य सूत्र

• बिंदु आवेश से विद्युत क्षेत्र: $$ E = \frac{kq}{r^2} $$

• सतत वितरण से विद्युत क्षेत्र: $$ \mathbf{E} = \int \frac{k , dq}{r^2} \hat{r} $$

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

विद्युत क्षेत्र: एक सदिश क्षेत्र जो किसी दिए गए बिंदु पर परीक्षण आवेश द्वारा अनुभव किए गए बल का वर्णन करता है।

विद्युत क्षेत्र रेखा: एक रेखा जो प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा और शक्ति को दर्शाती है।

निष्कर्ष

विद्युत आवेश और विद्युत क्षेत्र विद्युतचुंबकत्व में आधारभूत अवधारणाएँ हैं। इनके गुणों और अन्योन्यक्रियाओं को समझना विद्युतचुंबकीय घटनाओं का विश्लेषण करने और संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।

अभ्यास प्रश्न

##### समान द्रव्यमान और समान आवेश वाली दो गेंदों को लंबाई $l$ के एक निश्चित आधार से लटकाया गया है। विद्युत्स्थैतिक साम्यावस्था में, यह मानते हुए कि प्रत्येक धागे द्वारा बनाया गया कोण छोटा है, गेंदों के बीच पृथक्करण $X$ समानुपाती है $\rightarrow$ JEE Main (ऑनलाइन) 2013 1. [ ] $l$ 2. [ ] $l^{2}$ 3. [ ] $l^{2 / 3}$ 4. [x] $l^{1 / 3}$ ##### मूल CsCl क्रिस्टल संरचना में, $Cs^{+}$ और $Cl^{-}$ आयनों को bcc विन्यास में व्यवस्थित किया जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। आठ $Cs^{+}$ आयनों द्वारा $Cl^{-}$ आयन पर लगाया गया कुल विद्युत्स्थैतिक बल है 1. [ ] $\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dfrac{4 e^{2}}{3 a^{2}}$ 2. [ ] $\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dfrac{16 e^{2}}{3 a^{2}}$ 3. [ ] $\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \dfrac{32 a^{2}}{3 a^{2}}$ 4. [x] zero ##### एक लंबा बेलनाकार खोल ऊपरी आधे भाग में धनात्मक पृष्ठ आवेश $\sigma$ और निचले आधे भाग में ऋणात्मक पृष्ठ आवेश $-\sigma$ वहन करता है। बेलन के चारों ओर विद्युत क्षेत्र रेखाएँ किस आकृति जैसी दिखेंगी (आकृतियाँ योजनाबद्ध हैं और पैमाने पर नहीं बनी हैं) $\rightarrow$ JEE Main 2015 1. [x] 2. [ ] 3. [ ] 4. [ ] 5. [ ] 6. [ ] 7. [ ] 8. [ ] ##### एक धनात्मक आवेशित कण $P$, दो समानांतर प्लेटों के बीच के क्षेत्र में वेग $u$ के साथ प्रवेश करता है, प्लेटों के समानांतर दिशा में। इस क्षेत्र में एकसमान विद्युत क्षेत्र है। $P$ इस क्षेत्र से वेग $v$ के साथ निकलता है। $C$ को एक स्थिरांक मानते हुए, $v$ की $u$ पर निर्भरता होगी 1. [ ] $v=C u$ 2. [ ] $v=\sqrt{u^{2}+C u}$ 3. [ ] $v=\sqrt{u^{2}+\dfrac{C}{u}}$ 4. [x] $v=\sqrt{u^{2}+\dfrac{C}{u^{2}}}$ ##### एक अनंत रैखिक आवेश 2 cm की दूरी पर $9 \times 10^{4} \mathrm{N} / \mathrm{C}$ का क्षेत्र उत्पन्न करता है। रैखिक आवेश घनत्व की गणना कीजिए। 1. [ ] $10^{-3} \mathrm{C} / \mathrm{m}$ 2. [ ] $10^{-4} \mathrm{C} / \mathrm{m}$ 3. [ ] $10^{-5} \mathrm{C} / \mathrm{m}$ 4. [x] $10^{-7} \mathrm{C} / \mathrm{m}$ ##### कुल आवेश $Q$ और त्रिज्या $R$ वाले एकसमान आवेशित गोले में, केंद्र से दूरी के फलन के रूप में विद्युत क्षेत्र $E$ को आलेखित किया गया है। उपरोक्त से संगत ग्राफ होगा $\rightarrow$ AIEEE 2012 **विकल्प** 1. [ ] 2. [ ] 3. [x] 4. [ ] 5. [ ] 6. [ ] 7. [ ] 8. [ ] ##### मान लीजिए कि $\rho(r)=\dfrac{Q}{\pi R^{4}} r$ त्रिज्या $R$ और कुल आवेश $Q$ वाले एक ठोस गोले के लिए आवेश घनत्व वितरण है। केंद्र से $r _{1}$ दूरी पर गोले के अंदर एक बिंदु $p$ के लिए, विद्युत क्षेत्र का परिमाण है $\rightarrow$ AIEEE 2009 1. [ ] zero 2. [ ] $\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r _{1}^{2}}$ 3. [x] $\dfrac{Q r _{1}^{2}}{4 \pi \varepsilon _{0} R^{4}}$ 4. [ ] $\dfrac{Q r _{1}^{2}}{3 \pi \varepsilon _{0} R^{4}}$