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गैसों के गतिज सिद्धांत का अध्ययन नोट्स

विषय सूची

1. गैसों के गतिज सिद्धांत का परिचय
2. गतिज सिद्धांत की मान्यताएँ
3. आणविक गति और गतिज ऊर्जा
4. दाब और तापमान का संबंध
5. आदर्श गैस नियम और गतिज सिद्धांत
6. माध्य मुक्त पथ
7. ऐवोगेड्रो संख्या
8. सारांश

1. गैसों के गतिज सिद्धांत का परिचय

गैसों का गतिज सिद्धांत एक ऐसा मॉडल है जो गैसों के व्यवहार को उनके अणुओं की गति के आधार पर समझाता है। यह दाब, तापमान और आयतन जैसे स्थूल गुणों की सूक्ष्मदर्शी व्याख्या प्रदान करता है।

मुख्य अवधारणाएँ

• गैसें बड़ी संख्या में छोटे कणों (अणुओं या परमाणुओं) से बनी होती हैं जो लगातार यादृच्छिक गति में होते हैं।
• ये कण एक-दूसरे से और पात्र की दीवारों से प्रत्यास्थ टक्कर करते हैं।
• कणों की गति शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों द्वारा नियंत्रित होती है।

2. गतिज सिद्धांत की मान्यताएँ

गतिज सिद्धांत कई मुख्य मान्यताओं पर आधारित है जो गैसों के व्यवहार को सरल बनाती हैं:

मुख्य मान्यताएँ

• 1. गैसें बड़ी संख्या में छोटे कणों (अणुओं या परमाणुओं) से बनी होती हैं जो निरंतर यादृच्छिक गति में रहते हैं।
• 2. अणुओं का आयतन पात्र के आयतन की तुलना में नगण्य होता है।
• 3. अणु एक-दूसरे के साथ केवल प्रत्यास्थ टक्करों के दौरान ही अंतर्क्रिया करते हैं।
• 4. अणुओं और पात्र की दीवारों के बीच टक्करें पूर्णतः प्रत्यास्थ होती हैं।
• 5. अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान के सीधे अनुक्रमानुपाती होती है।

3. आणविक गति और गतिज ऊर्जा

आणविक गति

• अणु टक्करों के बीच सीधी रेखाओं में गति करते हैं।
• गति यादृच्छिक होती है और शास्त्रीय यांत्रिकी के नियमों का पालन करती है।

गतिज ऊर्जा

• गैस अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा गैस के परम तापमान के सीधे अनुक्रमानुपाती होती है।
• एक अणु की गतिज ऊर्जा उसके द्रव्यमान और उसके वेग के वर्ग पर निर्भर करती है।
• वर्ग-माध्य-मूल (RMS) चाल गैस में अणुओं की औसत चाल का एक माप है।

RMS चाल सूत्र

$$ v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} $$ जहाँ:

• $ v_{\text{rms}} $ = वर्ग-माध्य-मूल चाल
• $ R $ = गैस स्थिरांक
• $ T $ = परम तापमान
• $ M $ = गैस का मोलर द्रव्यमान

4. दाब और तापमान का संबंध

दाब

• गैस में दाब पात्र की दीवारों से अणुओं की टक्करों के कारण उत्पन्न होता है।
• दाब अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा और अणुओं के संख्या घनत्व के सीधे अनुक्रमानुपाती होता है।

तापमान

• तापमान अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का माप है।
• उच्च तापमान का अर्थ है अधिक औसत गतिज ऊर्जा और तेज़ आणविक गति।

5. आदर्श गैस नियम और गतिज सिद्धांत

आदर्श गैस नियम को गैसों के गतिज सिद्धांत से व्युत्पन्न किया जा सकता है।

आदर्श गैस नियम

$$ PV = nRT $$ जहाँ:

• $ P $ = दाब
• $ V $ = आयतन
• $ n $ = मोल की संख्या
• $ R $ = गैस स्थिरांक
• $ T $ = परम तापमान

गतिज सिद्धांत से व्युत्पत्ति

गतिज सिद्धांत गैस अणुओं की गति और टक्करों के आधार पर आदर्श गैस नियम की व्युत्पत्ति प्रदान करता है।

6. माध्य मुक्त पथ

परिभाषा

माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो एक अणु अन्य अणुओं से टकराने के बीच तय करता है।

माध्य मुक्त पथ को प्रभावित करने वाले कारक

• गैस का घनत्व: अधिक घनत्व का अर्थ है छोटा माध्य मुक्त पथ।
• अणुओं का आकार: बड़े अणुओं का माध्य मुक्त पथ छोटा होता है।
• तापमान: उच्च तापमान माध्य मुक्त पथ को बढ़ाता है।

माध्य मुक्त पथ सूत्र

$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} $$ जहाँ:

• $ \lambda $ = माध्य मुक्त पथ
• $ d $ = अणु का व्यास
• $ n $ = अणुओं का संख्या घनत्व

7. ऐवोगेड्रो संख्या

परिभाषा

ऐवोगेड्रो संख्या किसी पदार्थ के एक मोल में उपस्थित कणों (परमाणुओं, अणुओं) की संख्या है।

मान

$$ N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} $$

महत्व

• स्थूल पैमाने (ग्राम, लीटर) को सूक्ष्म पैमाने (व्यक्तिगत अणु) से जोड़ती है।
• मोल, मोलर द्रव्यमान और ऐवोगेड्रो के नियम से संबंधित गणनाओं में प्रयुक्त होती है।

8. सारांश

अभ्यास प्रश्न

##### निम्नलिखित पर विचार करें: एक ठोस पिंड जिसकी नियत ऊष्मा धारिता $1 \mathrm{J} /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ है, को दो तरीकों से संचायकों के संपर्क में रखकर गर्म किया जा रहा है। (i) क्रमिक रूप से 2 संचायकों के संपर्क में रखा जाता है जैसे कि प्रत्येक संचायक समान मात्रा में ऊष्मा प्रदान करता है। (ii) क्रमिक रूप से 8 संचायकों के संपर्क में रखा जाता है जैसे कि प्रत्येक संचायक समान मात्रा में ऊष्मा प्रदान करता है। दोनों ही मामलों में, पिंड को प्रारंभिक तापमान $100^{\circ} \mathrm{C}$ से अंतिम तापमान $200^{\circ} \mathrm{C}$ तक लाया जाता है। दोनों मामलों में पिंड के एन्ट्रॉपी परिवर्तन क्रमश: हैं $\rightarrow$ JEE Main 2015 1. [ ] $\ln 2,4 \ln 2$ 2. [x] $\ln 2$, $\ln 2$ 3. [ ] $\ln 2,2 \ln 2$ 4. [ ] $2 \ln 2,8 \ln 2$ ##### बड़ी संख्या में कणों के एक संग्रह पर विचार करें जहां प्रत्येक कण की गति $v$ है। वेग की दिशा संग्रह में यादृच्छिक रूप से वितरित है। संग्रह में किन्हीं दो कणों के बीच सापेक्ष वेग का परिमाण क्या है? 1. [ ] $\dfrac{2 v}{\pi}$ 2. [x] $\dfrac{v}{\pi}$ 3. [ ] $\dfrac{8 v}{\pi}$ 4. [ ] $\dfrac{4 v}{\pi}$ ##### डाइएटोमिक अणुओं जैसे हाइड्रोजन की ऊर्जा स्थानांतरीय गति के साथ-साथ घूर्णी गति के कारण भी होती है। गतिज सिद्धांत के समीकरण $p V=\dfrac{2}{3} E$ में, $E$ है 1. [ ] प्रति इकाई आयतन कुल ऊर्जा 2. [ ] केवल स्थानांतरीय ऊर्जा का भाग, क्योंकि घूर्णी ऊर्जा स्थानांतरीय ऊर्जा की तुलना में बहुत कम होती है 3. [x] केवल स्थानांतरीय ऊर्जा का भाग, क्योंकि दीवार से टकराते समय दाब रैखिक संवेग में परिवर्तन से संबंधित होता है 4. [ ] स्थानांतरीय ऊर्जा का भाग, क्योंकि अणुओं की घूर्णी ऊर्जाएँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं और सभी अणुओं पर इसका औसत शून्य होता है ##### एक आदर्श एकपरमाणुक गैस को $8 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{2}$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले स्प्रिंग-लोडेड पिस्टन द्वारा एक सिलेंडर में बंद किया गया है। प्रारंभ में, गैस 300 K तापमान पर है और $2.4 \times 10^{-3} \mathrm{m}^{3}$ आयतन घेरती है तथा स्प्रिंग शिथिल अवस्था में है। गैस को एक छोटे हीटर कॉइल $H$ द्वारा गर्म किया जाता है। स्प्रिंग का बल नियतांक $8000 \mathrm{Nm}^{-1}$ है और वायुमंडलीय दाब $1 \times 10^{5} \mathrm{Pa}$ है। सिलेंडर और पिस्टन ऊष्मीय रूप से विलगित हैं। पिस्टन और स्प्रिंग द्रव्यमान रहित हैं और पिस्टन एवं सिलेंडर के बीच कोई घर्षण नहीं है। हीटर कॉइल तार के माध्यम से कोई ऊष्मा हानि नहीं होती है और हीटर कॉइल की ऊष्मीय धारिता नगण्य है। उपरोक्त सभी मान्यताओं के साथ, यदि गैस को हीटर द्वारा तब तक गर्म किया जाता है जब तक कि पिस्टन धीरे-धीरे 0.1 मीटर बाहर नहीं चला जाता, तो अंतिम तापमान है 1. [ ] 400 K 2. [x] 800 K 3. [ ] 1200 K 4. [ ] 300 K