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अध्ययन नोट्स: तरंग गति और संबंधित अवधारणाएँ

विषय सूची

1. तरंग गति का परिचय
2. तरंगों की गति
3. ध्वनि तरंगें
4. प्रगामी या हार्मोनिक तरंग के लिए विस्थापन संबंध
5. तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत
6. तरंगों का व्यतिकरण
7. अप्रगामी तरंगें
8. तरंगों की शक्ति और तीव्रता
9. सारांश

1. तरंग गति का परिचय

परिभाषा: तरंग गति एक माध्यम के माध्यम से अशांति का प्रसार है, जो दोलनों द्वारा ऊर्जा हस्तांतरण की विशेषता है।

• मुख्य विशेषताएँ:
  • माध्यम की शुद्ध गति के बिना ऊर्जा का हस्तांतरण।
  • कणों का उनकी संतुलन स्थिति के आसपास दोलन।
  • अनुप्रस्थ या अनुदैर्ध्य हो सकती हैं।
• तरंगों के प्रकार:
  • यांत्रिक तरंगें: माध्यम की आवश्यकता होती है (ठोस, तरल, गैस)।
  • विद्युतचुंबकीय तरंगें: माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है (जैसे, प्रकाश, रेडियो तरंगें)।

2. तरंगों की गति

परिभाषा: तरंग की गति वह वेग है जिस पर तरंगमुख एक माध्यम में यात्रा करती हैं।

• तरंग गति को प्रभावित करने वाले कारक:
  • माध्यम के गुण: घनत्व, प्रत्यास्थता, तापमान।
  • तरंग प्रकार: अनुप्रस्थ बनाम अनुदैर्ध्य।
  • आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य: $ v = f \lambda $
• उदाहरण:
  • जल तरंगें: गति जल की गहराई पर निर्भर करती है।
  • ध्वनि तरंगें: गति माध्यम के अनुसार भिन्न होती है (जैसे, 343 m/s हवा में 20°C पर)।

3. ध्वनि तरंगें

परिभाषा: ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें हैं जिन्हें प्रसार के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है, जिनकी विशेषता संपीड़न और विरलन है।

• मुख्य विशेषताएँ:
  • संपीड़न: वे क्षेत्र जहाँ कण एक-दूसरे के निकट होते हैं।
  • विरलन: वे क्षेत्र जहाँ कण एक-दूसरे से दूर होते हैं।
  • प्रसार: ठोस, तरल या गैस जैसे भौतिक माध्यम की आवश्यकता है।
• ध्वनि की गति:
  • हवा में 20°C पर: $ v = 343 , \text{m/s} $
  • पानी में: $ v = 1,480 , \text{m/s} $
  • स्टील में: $ v = 5,960 , \text{m/s} $

4. प्रगामी या हार्मोनिक तरंग के लिए विस्थापन संबंध

परिभाषा: विस्थापन संबंध तरंग में एक कण की स्थिति को समय और स्थान के फलन के रूप में वर्णित करता है।

• गणितीय निरूपण:
  • $ y(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi) $
    • $ A $: आयाम
    • $ k $: कोणीय तरंग संख्या
    • $ \omega $: कोणीय आवृत्ति
    • $ \phi $: प्रावस्था नियतांक
• मुख्य मापदंड:
  • तरंगदैर्ध्य: $ \lambda = \frac{2\pi}{k} $
  • आवृत्ति: $ f = \frac{\omega}{2\pi} $
  • तरंग गति: $ v = \frac{\omega}{k} $

5. तरंगों के अध्यारोपण का सिद्धांत

परिभाषा: जब दो या अधिक तरंगें अध्यारोपित होती हैं, तो परिणामी विस्थापन उनके व्यक्तिगत विस्थापनों का बीजगणितीय योग होता है।

• मुख्य बिंदु:
  • रैखिक तरंगों पर लागू होता है।
  • व्यतिकरण पैटर्न के निर्माण को संभव बनाता है।
• उदाहरण:
  • दो तरंगें $ y_1 = A \sin(kx - \omega t) $ और $ y_2 = A \sin(kx - \omega t + \phi) $
  • परिणामी: $ y = y_1 + y_2 $

6. तरंगों का व्यतिकरण

परिभाषा: व्यतिकरण वह घटना है जहाँ दो या अधिक तरंगें अध्यारोपित होकर अधिक, समान या कम आयाम की परिणामी तरंग बनाती हैं।

• व्यतिकरण के प्रकार:
  • रचनात्मक व्यतिकरण: आयाम जुड़ते हैं।
  • विनाशी व्यतिकरण: आयाम रद्द होते हैं।
• व्यतिकरण के लिए शर्तें:
  • तरंगों की आवृत्ति समान होनी चाहिए।
  • प्रावस्था अंतर स्थिर होना चाहिए।
  • पथ अंतर छोटा होना चाहिए।

7. अप्रगामी तरंगें

परिभाषा: अप्रगामी तरंगें तब बनती हैं जब दो समान तरंगें विपरीत दिशाओं में यात्रा करते हुए व्यतिकरण करती हैं।

• निर्माण:
  • आपतित और परावर्तित तरंगों के अध्यारोपण का परिणाम।
• मुख्य विशेषताएँ:
  • निस्पंद: शून्य विस्थापन के बिंदु।
  • प्रस्पंद: अधिकतम विस्थापन के बिंदु।
• गणितीय निरूपण:
  • $ y(x, t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t) $

8. तरंगों की शक्ति और तीव्रता

परिभाषा: शक्ति वह दर है जिस पर तरंग द्वारा ऊर्जा स्थानांतरित होती है। तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल में शक्ति है।

• तरंग की शक्ति:
  • $ P = \frac{1}{2} \mu \omega^2 A^2 v $
    • $ \mu $: रैखिक द्रव्यमान घनत्व
    • $ A $: आयाम
    • $ \omega $: कोणीय आवृत्ति
    • $ v $: तरंग गति
• तरंग की तीव्रता:
  • $ I = \frac{P}{A} $
    • $ I $: तीव्रता
    • $ A $: वह क्षेत्र जिस पर तरंग फैलती है
• वर्ग नियम का प्रतिलोम:
  • तीव्रता स्रोत से दूरी के वर्ग के साथ कम होती है: $ I \propto \frac{1}{r^2} $

9. सारांश

मूल छवियाँ

तरंग विस्थापन आलेख

शीर्षक: स्थिति और समय के फलन के रूप में विस्थापन दिखाती एक विशिष्ट साइन तरंग।

निष्कर्ष

तरंग गति भौतिकी की एक मूलभूत अवधारणा है, जो ध्वनि से प्रकाश तक की विविध घटनाओं को सम्मिलित करती है। विभिन्न माध्यमों में तरंग व्यवहार का विश्लेषण और पूर्वानुमान करने के लिए तरंग गुणों, अध्यारोपण और व्यतिकरण को समझना महत्वपूर्ण है।