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अध्ययन नोट्स: गुरुत्वाकर्षण और उपग्रह गति

अनुक्रमणिका

1. गुरुत्वाकर्षण का परिचय
2. उपग्रह गति और कक्षीय यांत्रिकी
3. उपग्रहों की ऊर्जा
4. भूस्थैतिक उपग्रह
5. कोणीय संवेग और संरक्षण
6. बंधन ऊर्जा और पलायन वेग
7. सारांश और प्रमुख अवधारणाएँ

1. गुरुत्वाकर्षण का परिचय

1.1 न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियम

• परिभाषा: ब्रह्मांड में पदार्थ का प्रत्येक कण अन्य प्रत्येक कण को एक बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
• सूत्र: $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$
  • $ F $: गुरुत्वाकर्षण बल (N)
  • $ G $: गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $ (6.67 \times 10^{-11} , \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2) $
  • $ m_1 $, $ m_2 $: दो पिंडों के द्रव्यमान (kg)
  • $ r $: दो पिंडों के केंद्रों के बीच की दूरी (m)

1.2 गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र

• परिभाषा: किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वह गुरुत्वाकर्षण बल है जो उस बिंदु पर रखे गए एकांक द्रव्यमान द्वारा अनुभव किया जाता है।
• सूत्र: $$ g = \frac{F}{m} = G \frac{M}{r^2} $$
  • $ g $: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता (N/kg)
  • $ M $: स्रोत पिंड का द्रव्यमान (kg)
  • $ r $: स्रोत पिंड के केंद्र से दूरी

2. उपग्रह गति और कक्षीय यांत्रिकी

2.1 कक्षाओं के प्रकार

2.2 कक्षीय वेग

• परिभाषा: किसी ग्रह के चारों ओर स्थिर कक्षा बनाए रखने के लिए उपग्रह के लिए आवश्यक गति।
• सूत्र: $$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$
  • $ v $: कक्षीय वेग (m/s)
  • $ r $: कक्षा की त्रिज्या (m)

2.3 परिक्रमण काल

• परिभाषा: उपग्रह द्वारा एक पूर्ण कक्षा पूरा करने में लगा समय।
• सूत्र: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$
  • $ T $: समयावधि (सेकंड)

3. उपग्रहों की ऊर्जा

3.1 उपग्रह की यांत्रिक ऊर्जा

• कुल यांत्रिक ऊर्जा: $$ E = K + U = -\frac{GMm}{2r} $$
  • $ E $: कुल यांत्रिक ऊर्जा (J)
  • $ K $: गतिज ऊर्जा (J)
  • $ U $: स्थितिज ऊर्जा (J)
• नोट: कुल यांत्रिक ऊर्जा ऋणात्मक होती है, जो दर्शाता है कि उपग्रह ग्रह से बंधा हुआ है।

3.2 गतिज और स्थितिज ऊर्जा

• गतिज ऊर्जा: $$ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r} $$
• स्थितिज ऊर्जा: $$ U = -\frac{GMm}{r} $$

3.3 बंधन ऊर्जा

• परिभाषा: उपग्रह को उसकी कक्षा से हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा।
• सूत्र: $$ BE = -E = \frac{GMm}{2r} $$
• नोट: बंधन ऊर्जा कुल यांत्रिक ऊर्जा के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।

4. भूस्थैतिक उपग्रह

4.1 परिभाषा

भूस्थैतिक उपग्रह वह उपग्रह है जो पृथ्वी की उस ऊँचाई पर परिक्रमा करता है जहाँ उसका कक्षीय काल पृथ्वी के घूर्णन काल से मेल खाता है, जिससे वह पृथ्वी पर एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष स्थिर प्रतीत होता है।

4.2 प्रमुख विशेषताएँ

4.3 लाभ

• पृथ्वी से स्थिर प्रतीत होता है।
• निरंतर संचार लिंक की अनुमति देता है।
• ग्राउंड स्टेशनों के लिए एंटीना डिज़ाइन को सरल बनाता है।

5. कोणीय संवेग और संरक्षण

5.1 उपग्रह का कोणीय संवेग

• परिभाषा: उपग्रह का कक्षीय गति के कारण घूर्णी संवेग।
• सूत्र: $$ L = mvr $$
  • $ L $: कोणीय संवेग (kg·m²/s)
  • $ m $: उपग्रह का द्रव्यमान (kg)
  • $ v $: कक्षीय वेग (m/s)
  • $ r $: कक्षा की त्रिज्या (m)

5.2 कोणीय संवेग का संरक्षण

• बाह्य बलाघूर्ण की अनुपस्थिति में, उपग्रह का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
• यह सिद्धांत स्थिर उपग्रह कक्षाओं और कक्षीय यांत्रिकी को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

6. बंधन ऊर्जा और पलायन वेग

6.1 पलायन वेग

• परिभाषा: किसी पिंड को ग्रह के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बचाने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति।
• सूत्र: $$ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} $$
  • $ v_e $: पलायन वेग (m/s)
  • $ r $: ग्रह की त्रिज्या (m)

6.2 बंधन ऊर्जा और पलायन वेग की तुलना

7. सारांश और प्रमुख अवधारणाएँ

7.1 प्रमुख अवधारणाएँ

• गुरुत्वाकर्षण वह बल है जो खगोलीय पिंडों को एक साथ बांधता है।
• कक्षीय गति गुरुत्वाकर्षण बल और अभिकेंद्री बल के संतुलन द्वारा नियंत्रित होती है।
• उपग्रह किसी ग्रह के चारों ओर कक्षा में स्थित वस्तुएं हैं, और उनकी गति न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती है।
• कक्षा में उपग्रह की ऊर्जा ऋणात्मक होती है और इसमें गतिज और स्थितिज ऊर्जा शामिल होती है।
• भूस्थैतिक उपग्रह संचार और मौसम निगरानी के लिए उपयोग किए जाते हैं।
• कोणीय संवेग कक्षीय गति में संरक्षित रहता है।
• बंधन ऊर्जा उपग्रह को उसकी कक्षा से मुक्त कराने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।

7.2 महत्वपूर्ण सूत्र

अभ्यास प्रश्न

##### एक समान गोले के 'बचे हुए भाग' के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (जिसमें से दिखाए गए भाग को 'निकाल दिया गया है'), दूर स्थित बिंदु $P$ पर (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है), लगभग होगा → JEE Main 2015 1. [ ] $\dfrac{5}{6} \dfrac{G M}{R^{2}}$ 2. [ ] $\dfrac{8}{9} \dfrac{G M}{R^{2}}$ 3. [x] $\dfrac{7}{8} \dfrac{G M}{R^{2}}$ 4. [ ] $\dfrac{6}{7} \dfrac{G M}{R^{2}}$ ##### पृथ्वी पर एक पूर्ण वस्त्रधारी अंतरिक्ष यात्री के द्वारा कूदी जाने वाली अधिकतम ऊर्ध्वाधर दूरी 0.5 मीटर है। चंद्रमा पर उसके द्वारा कूदी जाने वाली अधिकतम ऊर्ध्वाधर दूरी का अनुमान लगाएं, जिसका माध्य घनत्व पृथ्वी के घनत्व का $2/3$ गुना है और त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की एक चौथाई है। 1. [ ] 1.5 m 2. [x] 3 m 3. [ ] 6 m 4. [ ] 7.5 m ##### एक अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान 1000 kg है। इसे पृथ्वी की सतह से मुक्त अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किया जाना है। $g$ और $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) के मान क्रमशः $10 \ \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}$ और 6400 km हैं। इस कार्य के लिए आवश्यक ऊर्जा होगी 1. [ ] $6.4 \times 10^{11} \ \mathrm{J}$ 2. [ ] $6.4 \times 10^{8} \ \mathrm{J}$ 3. [ ] $6.4 \times 10^{9} \ \mathrm{J}$ 4. [x] $6.4 \times 10^{10} \ \mathrm{J}$ ##### यदि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ है, तो द्रव्यमान $m$ की एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या $R$ के बराबर ऊँचाई तक उठाने पर स्थितिज ऊर्जा में प्राप्त वृद्धि होगी 1. [ ] $2 m g R$ 2. [x] $\dfrac{1}{2} m g R$ 3. [ ] $\dfrac{1}{4} m g R$ 4. [ ] $m g R$ ##### द्रव्यमान $m$ और 4 m के दो पिंडों को एक दूसरे से $r$ दूरी पर रखा गया है। उस बिंदु पर गुरुत्वीय विभव, जो उन्हें मिलाने वाली रेखा पर स्थित है और जहाँ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है, होगा 1. [ ] $-\dfrac{4 G m}{r}$ 2. [ ] $-\dfrac{6 G m}{r}$ 3. [x] $-\dfrac{9 G m}{r}$ 4. [ ] शून्य ##### किसी दूरस्थ सौर मंडल में एक ग्रह पृथ्वी से 10 गुना अधिक भारी है और इसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से 10 गुना छोटी है। यह देखते हुए कि पृथ्वी से पलायन वेग $11 \ \mathrm{kms}^{-1}$ है, ग्रह की सतह से पलायन वेग होगा 1. [ ] $1.1 \ \mathrm{kms}^{-1}$ 2. [ ] $11 \ \mathrm{kms}^{-1}$ 3. [x] $110 \ \mathrm{kms}^{-1}$ 4. [ ] $0.11 \ \mathrm{kms}^{-1}$