घूर्णी गति
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अध्ययन नोट्स: घूर्णी गति
विषय सूची
- घूर्णी गति का परिचय
- मुख्य अवधारणाएँ एवं परिभाषाएँ
- घूर्णी गति के समीकरण
- बल आघूर्ण (टॉर्क)
- कोणीय संवेग एवं इसका संरक्षण
- दृढ़ पिण्डों का साम्यावस्था
- लुढ़कने की गति के प्रकार
- झुके हुए तल पर लुढ़कना
- झुके हुए तल से सम्बंधित महत्वपूर्ण पद
- द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन
- सारांश
1. घूर्णी गति का परिचय
घूर्णी गति किसी निश्चित अक्ष के सापेक्ष वस्तुओं की गति को संदर्भित करती है। यह कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण जैसे कोणीय मापदंडों द्वारा विशेषित होती है।
2. मुख्य अवधारणाएँ एवं परिभाषाएँ
कोणीय विस्थापन
- वह कोण जिसके द्वारा एक बिंदु या वस्तु वृत्ताकार पथ में गति करती है।
- इसे $ \theta $ से दर्शाया जाता है, मापन इकाई रेडियन है।
कोणीय वेग
- कोणीय विस्थापन में परिवर्तन की दर।
- इसे $ \omega $ से दर्शाया जाता है, मापन इकाई रेडियन प्रति सेकंड है।
कोणीय त्वरण
- कोणीय वेग में परिवर्तन की दर।
- इसे $ \alpha $ से दर्शाया जाता है, मापन इकाई रेडियन प्रति सेकंड वर्ग है।
अभिकेंद्रीय बल
- किसी वस्तु को वृत्ताकार पथ में गति कराने के लिए आवश्यक बल।
- वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
अपकेंद्रीय बल (काल्पनिक)
- घूर्णनशील निर्देश तंत्र में अनुभव होने वाला एक आभासी बाह्य बल।
3. घूर्णी गति के समीकरण
| पैरामीटर | प्रतीक | मात्रक | सूत्र |
|---|---|---|---|
| कोणीय विस्थापन | $ \theta $ | रेडियन | $ \theta = \omega t $ |
| कोणीय वेग | $ \omega $ | rad/s | $ \omega = \frac{v}{r} $ |
| कोणीय त्वरण | $ \alpha $ | rad/s² | $ \alpha = \frac{d\omega}{dt} $ |
| बल आघूर्ण | $ \tau $ | N·m | $ \tau = r \times F $ |
| जड़त्व आघूर्ण | $ I $ | kg·m² | $ I = \sum mr^2 $ |
| कोणीय संवेग | $ L $ | kg·m²/s | $ L = I\omega $ |
4. बल आघूर्ण (टॉर्क)
परिभाषा
- टॉर्क रेखीय बल का घूर्णी समतुल्य है।
- यह आरोपित बल और धुरी बिंदु से लम्बवत दूरी का गुणनफल है।
सूत्र
$$ \tau = r \times F $$ जहाँ:
- $ \tau $ बल आघूर्ण है
- $ r $ धुरी से दूरी है
- $ F $ आरोपित बल है
मात्रक
- SI मात्रक: न्यूटन-मीटर (N·m)
उदाहरण
- दरवाजा खोलना
- बोल्ट कसने के लिए रेंच का उपयोग करना
5. कोणीय संवेग एवं इसका संरक्षण
परिभाषा
- कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल है।
- $ L = I\omega $
कोणीय संवेग का संरक्षण
- यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है, तो कोणीय संवेग अपरिवर्तित रहता है।
- $ L_{\text{प्रारंभिक}} = L_{\text{अंतिम}} $
अनुप्रयोग
- घूमते हुए आइस स्केटर्स
- ग्रहों की कक्षाएँ
6. दृढ़ पिण्डों का साम्यावस्था
स्थैतिक साम्यावस्था
- एक दृढ़ पिण्ड साम्यावस्था में होता है यदि:
- सभी बलों का योग शून्य हो।
- सभी बल आघूर्णों का योग शून्य हो।
साम्यावस्था की शर्तें
- $ \sum F = 0 $
- $ \sum \tau = 0 $
उदाहरण
- दीवार के सहारे झुकी हुई सीढ़ी
- संतुलित झूला
7. लुढ़कने की गति के प्रकार
शुद्ध लोटनिक गति
- बिना फिसले लुढ़कना।
- सतह के संपर्क बिंदु तात्कालिक रूप से विराम में होता है।
- $ v = r\omega $
अशुद्ध लोटनिक गति
- फिसलते हुए लुढ़कना।
- सतह के सापेक्ष संपर्क बिंदु गति करता है।
झुके हुए तल पर लुढ़कना
- यह गति गुरुत्वाकर्षण, घर्षण और झुकाव के कोण से प्रभावित होती है।
8. झुके हुए तल पर लुढ़कना
मुख्य कारक
- झुकाव के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल का घटक
- घर्षण बल
- वस्तु का जड़त्व आघूर्ण
- तल का झुकाव कोण
समीकरण
- त्वरण:
$$
a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{r^2}}
$$
जहाँ:
- $ a $ रेखीय त्वरण है
- $ g $ गुरुत्वीय त्वरण है
- $ \theta $ तल का झुकाव कोण है
- $ k $ घूर्णन त्रिज्या है
- $ r $ वस्तु की त्रिज्या है
9. झुके हुए तल से सम्बंधित महत्वपूर्ण पद
| पद | परिभाषा |
|---|---|
| झुकाव कोण | झुके हुए तल और क्षैतिज तल के बीच का कोण |
| अभिलंब बल | सतह द्वारा वस्तु पर लम्बवत् लगाया गया बल |
| घर्षण बल | सतह पर वस्तु की गति का विरोध करने वाला बल |
| त्वरण | झुकाव के अनुदिश वेग में परिवर्तन की दर |
10. द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूर्णन
मुख्य अवधारणाएँ
- घूर्णन की अक्ष द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है।
- सभी बिंदु समान कोणीय गति से घूमते हैं।
- जड़त्व आघूर्ण की गणना द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष की जाती है।
जड़त्व आघूर्ण
- $ I = \sum mr^2 $
- जहाँ $ r $ प्रत्येक द्रव्यमान अवयव की अक्ष से दूरी है।
उदाहरण
- ठोस गोला
- पतली छड़
- खोखला बेलन
11. सारांश
मुख्य अवधारणाएँ पुनर्कथन
- घूर्णी गति में कोणीय मापदंडों के साथ एक अक्ष के परितः गति सम्मिलित है।
- बल आघूर्ण रेखीय बल का घूर्णी समतुल्य है।
- कोणीय संवेग बाह्य बल आघूर्ण की अनुपस्थिति में संरक्षित रहता है।
- शुद्ध लोटनिक गति बिना फिसलने की विशेषता है।
- झुके हुए तल गुरुत्वाकर्षण और घर्षण के माध्यम से लोटनिक गति को प्रभावित करते हैं।
- जड़त्व आघूर्ण अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है।
सारांश सारणी
| विषय | मुख्य बिंदु |
|---|---|
| घूर्णी गति | कोणीय मापदंडों के साथ एक अक्ष के परितः गति |
| बल आघूर्ण | $ \tau = r \times F $ |
| कोणीय संवेग | $ L = I\omega $ |
| शुद्ध लोटनिक गति | $ v = r\omega $ |
| झुका हुआ तल | गुरुत्वाकर्षण और घर्षण से प्रभावित |
| जड़त्व आघूर्ण | $ I = \sum mr^2 $ |
निष्कर्ष
यह अध्ययन मार्गदर्शिका घूर्णी गति का एक व्यापक विवरण प्रदान करती है, जिसमें मुख्य अवधारणाएँ, समीकरण और अनुप्रयोग शामिल हैं। यह घूमने वाली वस्तुओं की गतिकी और विभिन्न बलों एवं परिस्थितियों के अंतर्गत उनके व्यवहार को समझने के लिए आवश्यक है।
अभ्यास प्रश्न
##### जब किसी पिंड को पृथ्वी के एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में क्षितिज के साथ एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो प्रक्षेपण बिंदु के सापेक्ष पिंड का कोणीय संवेग, जैसे ही यह पथ के अनुदिश गति करता है 
1. [ ] स्थिर रहता है
2. [x] निरंतर बढ़ता है
3. [ ] निरंतर घटता है
4. [ ] प्रारंभ में घटता है और उच्चतम बिंदु पर पहुँचने के बाद बढ़ता है
##### एक बल $-F \hat{\mathbf{k}}$ मूल बिंदु $O$ पर कार्य करता है। बिंदु $(1,-1)$ के सापेक्ष बलाघूर्ण है 
1. [ ] $F(\hat{i}-\hat{j})$
2. [ ] $-F(\hat{i}+\hat{j})$
3. [x] $F(\hat{i}+\hat{j})$
4. [ ] $-F(\hat{i}-\hat{j})$
##### केंद्रीय बल के साथ घूमने वाले कण का कोणीय संवेग किसके कारण स्थिर रहता है
1. [ ] नियत बल
2. [ ] नियत रेखीय संवेग
3. [x] शून्य बलाघूर्ण
4. [ ] नियत बलाघूर्ण
##### $m=3 \mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक कण सीधी रेखा $4 y-3 x=2$ के अनुदिश गति करता है, जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं, $v=5 \mathrm{ms}^{-1}$ के नियत वेग के साथ। मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग का परिमाण है
1. [ ] $12 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
2. [ ] $8.0 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
3. [x] $6.0 \mathrm{kg} -\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
4. [ ] $4.5 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
##### $m$ द्रव्यमान का एक कण रेखा $P C$ के अनुदिश वेग $v$ से गति करता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग क्या है? 
1. [ ] $m v L$
2. [x] $m v l$
3. [ ] $m v r$
4. [ ] शून्य
##### 5 g द्रव्यमान का एक कण $x y$-तल में रेखा $y=2 \sqrt{5} \mathrm{cm}$ के अनुदिश $3 \sqrt{2} \mathrm{cms}^{-1}$ की एकसमान चाल से गतिमान है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग का परिमाण $\mathrm{g}-\mathrm{cm}^{2} \mathrm{s}^{-1}$ में है
1. [ ] शून्य
2. [ ] 30
3. [ ] $30 \sqrt{2}$
4. [x] $30 \sqrt{10}$
##### 0.4 m त्रिज्या का एक बेलन, प्रारंभ में $(t=0$ पर$) \omega _{0}=54 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ से घूर्णन कर रहा है, को $\theta=37^{\circ}$ झुकाव वाले खुरदुरे ढलान पर $\mu=0.5$ घर्षण गुणांक के साथ रखा जाता है। बेलन द्वारा शुद्ध लोटनिक गति प्रारंभ करने में लिया गया समय है $[g=10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}]$। 
1. [ ] 5.4 s
2. [ ] 2.4 s
3. [ ] 1.4 s
4. [x] 1.2 s
##### 2 kg द्रव्यमान का एक कण गति कर रहा है जिससे कि समय $t$ पर, इसकी स्थिति $r(t)=5 \hat{i}-2 t^{2} \hat{j}$ मीटर में व्यक्त की जाती है। $t=2 \mathrm{s}$ पर मूल बिंदु के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-2} \mathrm{s}^{-1}$ में है $\rightarrow$ JEE Main (Online) 2013
1. [x] $-80 \hat{\mathbf{k}}$
2. [ ] $(10 \hat{\mathbf{i}}-16 \hat{\mathbf{j}})$
3. [ ] $-40 \hat{\mathbf{k}}$
4. [ ] $40 \hat{\mathbf{k}}$
##### $a$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान की एक समान डिस्क, अपने केंद्र से गुजरने वाले एक चिकने निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः क्षैतिज तल में $\omega$ कोणीय चाल से स्वतंत्रतापूर्वक घूर्णन कर रही है। $m$ द्रव्यमान का एक कण, डिस्क के रिम से अचानक जोड़ दिया जाता है और इसके साथ घूर्णन करने लगता है। नई कोणीय चाल है 
1. [ ] $\omega / 6$
2. [x] $\omega / 3$
3. [ ] $\omega / 2$
4. [ ] $\omega / 5$
##### यदि पृथ्वी की त्रिज्या अपने वर्तमान मान के $\dfrac{1}{n}$ भाग तक संकुचित हो जाए, तो दिन की लंबाई लगभग होगी
1. [ ] $\dfrac{24}{n} h$
2. [x] $\dfrac{24}{n^{2}} h$
3. [ ] 24 nh
4. [ ] $24 n^{2} h$
1. [ ] स्थिर रहता है
2. [x] निरंतर बढ़ता है
3. [ ] निरंतर घटता है
4. [ ] प्रारंभ में घटता है और उच्चतम बिंदु पर पहुँचने के बाद बढ़ता है
##### एक बल $-F \hat{\mathbf{k}}$ मूल बिंदु $O$ पर कार्य करता है। बिंदु $(1,-1)$ के सापेक्ष बलाघूर्ण है
1. [ ] $F(\hat{i}-\hat{j})$
2. [ ] $-F(\hat{i}+\hat{j})$
3. [x] $F(\hat{i}+\hat{j})$
4. [ ] $-F(\hat{i}-\hat{j})$
##### केंद्रीय बल के साथ घूमने वाले कण का कोणीय संवेग किसके कारण स्थिर रहता है
1. [ ] नियत बल
2. [ ] नियत रेखीय संवेग
3. [x] शून्य बलाघूर्ण
4. [ ] नियत बलाघूर्ण
##### $m=3 \mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक कण सीधी रेखा $4 y-3 x=2$ के अनुदिश गति करता है, जहाँ $x$ और $y$ मीटर में हैं, $v=5 \mathrm{ms}^{-1}$ के नियत वेग के साथ। मूल बिंदु के सापेक्ष कोणीय संवेग का परिमाण है
1. [ ] $12 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
2. [ ] $8.0 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
3. [x] $6.0 \mathrm{kg} -\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
4. [ ] $4.5 \mathrm{kg}-\mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1}$
##### $m$ द्रव्यमान का एक कण रेखा $P C$ के अनुदिश वेग $v$ से गति करता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $O$ के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग क्या है?
1. [ ] $m v L$
2. [x] $m v l$
3. [ ] $m v r$
4. [ ] शून्य
##### 5 g द्रव्यमान का एक कण $x y$-तल में रेखा $y=2 \sqrt{5} \mathrm{cm}$ के अनुदिश $3 \sqrt{2} \mathrm{cms}^{-1}$ की एकसमान चाल से गतिमान है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसके कोणीय संवेग का परिमाण $\mathrm{g}-\mathrm{cm}^{2} \mathrm{s}^{-1}$ में है
1. [ ] शून्य
2. [ ] 30
3. [ ] $30 \sqrt{2}$
4. [x] $30 \sqrt{10}$
##### 0.4 m त्रिज्या का एक बेलन, प्रारंभ में $(t=0$ पर$) \omega _{0}=54 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ से घूर्णन कर रहा है, को $\theta=37^{\circ}$ झुकाव वाले खुरदुरे ढलान पर $\mu=0.5$ घर्षण गुणांक के साथ रखा जाता है। बेलन द्वारा शुद्ध लोटनिक गति प्रारंभ करने में लिया गया समय है $[g=10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}]$।
1. [ ] 5.4 s
2. [ ] 2.4 s
3. [ ] 1.4 s
4. [x] 1.2 s
##### 2 kg द्रव्यमान का एक कण गति कर रहा है जिससे कि समय $t$ पर, इसकी स्थिति $r(t)=5 \hat{i}-2 t^{2} \hat{j}$ मीटर में व्यक्त की जाती है। $t=2 \mathrm{s}$ पर मूल बिंदु के सापेक्ष कण का कोणीय संवेग $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-2} \mathrm{s}^{-1}$ में है $\rightarrow$ JEE Main (Online) 2013
1. [x] $-80 \hat{\mathbf{k}}$
2. [ ] $(10 \hat{\mathbf{i}}-16 \hat{\mathbf{j}})$
3. [ ] $-40 \hat{\mathbf{k}}$
4. [ ] $40 \hat{\mathbf{k}}$
##### $a$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान की एक समान डिस्क, अपने केंद्र से गुजरने वाले एक चिकने निश्चित ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः क्षैतिज तल में $\omega$ कोणीय चाल से स्वतंत्रतापूर्वक घूर्णन कर रही है। $m$ द्रव्यमान का एक कण, डिस्क के रिम से अचानक जोड़ दिया जाता है और इसके साथ घूर्णन करने लगता है। नई कोणीय चाल है
1. [ ] $\omega / 6$
2. [x] $\omega / 3$
3. [ ] $\omega / 2$
4. [ ] $\omega / 5$
##### यदि पृथ्वी की त्रिज्या अपने वर्तमान मान के $\dfrac{1}{n}$ भाग तक संकुचित हो जाए, तो दिन की लंबाई लगभग होगी
1. [ ] $\dfrac{24}{n} h$
2. [x] $\dfrac{24}{n^{2}} h$
3. [ ] 24 nh
4. [ ] $24 n^{2} h$
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