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अध्ययन नोट्स: ऊर्जा, टक्कर और उछाल

विषय सूची

1. ऊर्जा का परिचय
2. ऊर्जा का संरक्षण
3. कार्य और शक्ति
4. टक्कर
   • 4.1 प्रत्यास्थ टक्कर
   • 4.2 अप्रत्यास्थ टक्कर
5. फर्श से टकराने पर गेंद का उछाल
6. सारांश

1. ऊर्जा का परिचय

1.1 ऊर्जा क्या है?

ऊर्जा एक अदिश राशि है जो गतिज, स्थितिज, तापीय, विद्युत आदि विभिन्न रूपों में मौजूद हो सकती है। इसे एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है लेकिन ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार इसे बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता।

“ऊर्जा को बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता, केवल परिवर्तित किया जा सकता है।”
— ऊर्जा संरक्षण का नियम

1.2 ऊर्जा के प्रकार

2. ऊर्जा का संरक्षण

2.1 ऊर्जा संरक्षण का नियम

सभी भौतिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा संरक्षित रहती है। एक पृथक तंत्र में कुल ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।

“ऊर्जा को बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता, केवल परिवर्तित किया जा सकता है।”
— ऊर्जा संरक्षण का नियम

2.2 यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण

ऐसे यांत्रिक तंत्रों में जहाँ केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं, यांत्रिक ऊर्जा (गतिज + स्थितिज) संरक्षित रहती है।

$$ \text{KE} _\text{initial} + \text{PE} _\text{initial} = \text{KE} _\text{final} + \text{PE} _\text{final} $$

3. कार्य और शक्ति

3.1 कार्य

कार्य वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु पर कार्यरत बल द्वारा उसे स्थानांतरित की जाती है।

$$ W = F \cdot d \cdot \cos(\theta) $$

जहाँ:

• $W$ = कार्य (जूल)
• $F$ = बल (न्यूटन)
• $d$ = विस्थापन (मीटर)
• $\theta$ = बल और विस्थापन के बीच का कोण

3.2 शक्ति

शक्ति कार्य करने की दर है।

$$ P = \frac{W}{t} $$

जहाँ:

• $P$ = शक्ति (वाट)
• $W$ = कार्य (जूल)
• $t$ = समय (सेकंड)

4. टक्कर

4.1 प्रत्यास्थ टक्कर

प्रत्यास्थ टक्कर में संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।

मुख्य बिंदु:

• वस्तुएँ टकराकर अलग हो जाती हैं।
• टक्कर में कोई ऊर्जा हानि नहीं होती।
• उदाहरण: बिलियर्ड गेंदों का टकराना।

4.2 अप्रत्यास्थ टक्कर

अप्रत्यास्थ टक्कर में संवेग संरक्षित रहता है, लेकिन गतिज ऊर्जा नहीं।

मुख्य बिंदु:

• टकराने के बाद वस्तुएँ आपस में चिपक सकती हैं।
• ऊर्जा की हानि होती है, अक्सर ऊष्मा या ध्वनि के रूप में।
• उदाहरण: कार दुर्घटना।

5. फर्श से टकराने पर गेंद का उछाल

5.1 प्रत्यास्थापन गुणांक (e)

प्रत्यास्थापन गुणांक टक्कर की प्रत्यास्थता का माप है।

$$ e = \frac{\text{टक्कर के बाद सापेक्ष चाल}}{\text{टक्कर से पहले सापेक्ष चाल}} $$

• $e = 1$ → पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर
• $e = 0$ → पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर

5.2 उछाल व्यवहार

जब कोई गेंद फर्श से टकराती है:

• अप्रत्यास्थ विरूपण के कारण वह कुछ गतिज ऊर्जा खो देती है।
• उछाल की ऊँचाई प्रत्यास्थापन गुणांक पर निर्भर करती है।
• गेंद $e$ के समानुपाती वेग से उछलती है।

उदाहरण:

यदि किसी गेंद को ऊँचाई $h$ से गिराया जाता है, तो वह ऊँचाई $h’$ तक उछलेगी जहाँ:

$$ h’ = e^2 h $$

6. सारांश

6.1 प्रमुख अवधारणाओं का पुनर्कथन

7. सूत्र सारांश

8. महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

“कार्य वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु पर कार्यरत बल द्वारा उसे स्थानांतरित की जाती है।”
— कार्य की परिभाषा

“शक्ति कार्य करने या ऊर्जा स्थानांतरित करने की दर है।”
— शक्ति की परिभाषा

“प्रत्यास्थापन गुणांक टक्कर की प्रत्यास्थता का माप है।”
— प्रत्यास्थापन गुणांक की परिभाषा

9. चित्र और दृश्य सामग्री

• चित्र 1: गिरती हुई वस्तु में ऊर्जा रूपांतरण
• चित्र 2: प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ टक्करों की तुलना
• चित्र 3: प्रत्यास्थापन गुणांक के साथ गेंद का उछाल

नोट: मूल सामग्री में संदर्भित चित्र यहाँ प्रारूप स्पष्टता के लिए शामिल नहीं हैं।

10. निष्कर्ष

ऊर्जा, टक्कर और उछाल को समझना भौतिक तंत्रों के विश्लेषण और गति की भविष्यवाणी के लिए आवश्यक है। ये अवधारणाएँ भौतिकी और इंजीनियरिंग में मूलभूत हैं, जिनके अनुप्रयोग खेलों से लेकर वाहन सुरक्षा तक हैं।

अभ्यास प्रश्न

##### 2 kg द्रव्यमान का एक पिंड, प्रारंभ में विरामावस्था में, एक साथ दो बलों के प्रभाव में है, एक 4 N और दूसरा 3 N, जो एक दूसरे के समकोण पर कार्य करते हैं। 20 s के बाद पिंड पर बल द्वारा किया गया कार्य है 1. [ ] 500 J 2. [ ] 1250 J 3. [x] 2500 J 4. [ ] 5000 J ##### 500 g द्रव्यमान के एक पिंड को 10 m लंबे और 5 m ऊँचे झुके हुए तल पर ले जाया जाता है और फिर नीचे स्लाइड करने के लिए छोड़ दिया जाता है। पिंड और तल के बीच घर्षण गुणांक 0.1 है। चक्कर यात्रा में किए गए कार्य की मात्रा क्या है? 1. [ ] 5 J 2. [ ] 15 J 3. [x] $5 \sqrt{3} \mathrm{J}$ 4. [ ] $\dfrac{5}{\sqrt{3}} \mathrm{J}$ ##### 5 kg द्रव्यमान का एक ब्लॉक प्रारंभ में एक क्षैतिज घर्षण रहित सतह पर विराम में है। एक क्षैतिज बल $F=(9-x^{2}) \hat{i}$ N इस पर कार्य करता है, जब ब्लॉक $x=0$ पर है। $x=0$ से $x=3 \mathrm{m}$ के बीच बल द्वारा किया गया अधिकतम कार्य जूल में है 1. [x] 18 J 2. [ ] 15 J 3. [ ] 20 J 4. [ ] 24 J ##### एक वस्तु को बिंदु $A(2 \ \mathrm{m}, 3 \ \mathrm{m}, 4 \ \mathrm{m})$ से बिंदु $B(1 \ \mathrm{m}, 2 \ \mathrm{m}, 3 \ \mathrm{m})$ तक एक स्थिर बल $F=(2 \mathbf{\hat{i}}+3 \mathbf{\hat{j}}+4 \mathbf{\hat{k}}) N$ के अंतर्गत विस्थापित किया जाता है, तो इस प्रक्रिया में इस बल द्वारा किया गया कार्य है 1. [ ] 9 J 2. [x] -9 J 3. [ ] 18 J 4. [ ] -18 J ##### $5 \times 10^{3} \mathrm{kg}$ द्रव्यमान का एक खुला जलरुद्ध रेलवे डिब्बा बिना घर्षण के रेलवे ट्रैक पर $1.2 \mathrm{ms}^{-1}$ के प्रारंभिक वेग से कोस्ट करता है। डिब्बे पर वर्षा लंबवत नीचे की ओर गिरती है। डिब्बे की गतिज ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है, जब उसने $10^{3} \mathrm{kg}$ पानी एकत्र कर लिया है? 1. [ ] 900 J 2. [ ] 300 J 3. [x] 600 J 4. [ ] 1200 J ##### एक कण एक सीधी रेखा में मंदन के साथ गति करता है जो इसके विस्थापन के समानुपाती है। किसी भी विस्थापन $x$ के लिए कण की गतिज ऊर्जा में हानि आनुपातिक है 1. [x] $x^{2}$ 2. [ ] $e^{x}$ 3. [ ] $x$ 4. [ ] $\log _{\theta} x$ ##### निम्नलिखित में से कौन सा चित्र पृथ्वी की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को सबसे सटीक रूप से दर्शाता है जब यह सूर्य के चारों ओर अपनी अण्डाकार कक्षा में एक बार चक्कर लगाती है? 1. [ ] 2. [ ] 3. [ ] 4. [x] 5. [ ] 6. [ ] 7. [ ] 8. [ ] ##### एक कण आकर्षक विभव $U=-\dfrac{k}{2 r^{2}}$ के प्रभाव में त्रिज्या a के वृत्तीय पथ पर गति करता है। इसकी कुल ऊर्जा है 1. [ ] $-\dfrac{k}{4 a^{2}}$ 2. [ ] $\dfrac{k}{2 a^{2}}$ 3. [x] शून्य 4. [ ] $-\dfrac{3}{2} \dfrac{k}{a^{2}}$ ##### $x$-अक्ष के अनुदिश गति करने के लिए स्वतंत्र 1 kg द्रव्यमान के एक कण की स्थितिज ऊर्जा $V(x)=\(\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}\) \mathrm{J}$ द्वारा दी गई है। कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा 2 J है। तब, अधिकतम गति ( $\mathrm{ms}^{-1}$ में ) है 1. [x] $\dfrac{3}{\sqrt{2}}$ 2. [ ] $\sqrt{2}$ 3. [ ] $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 4. [ ] 2 ##### एक कण को मूल बिंदु पर रखा जाता है और उस पर एक बल $F=k x$ कार्य करता है (जहाँ, $k$ एक धनात्मक नियतांक है)। यदि $U(0)=0$, तो $U(x)$ बनाम $x$ का ग्राफ होगा (जहाँ, $U$ स्थितिज ऊर्जा फलन है) 1. [x] 2. [ ] 3. [ ] 4. [ ] 5. [ ] 6. [ ] 7. [ ] 8. [ ]