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अध्ययन नोट्स: समतल में गति और प्रक्षेप्य गति

विषय सूची

1. सदिश का वियोजन
2. आपेक्षिक वेग
3. समतल में गति
4. प्रक्षेप्य गति
   • 4.1 क्षैतिज तल पर प्रक्षेप्य गति
   • 4.2 झुके हुए तल पर प्रक्षेप्य गति
   • 4.3 ढलानदार सतह पर प्रक्षेप्य गति
5. सारांश

सदिश का वियोजन

एक सदिश को उसके घटकों में विघटित किया जा सकता है, आमतौर पर x और y अक्षों के अनुदिश। यह दो आयामों में गति के विश्लेषण में सहायक होता है।

आपेक्षिक वेग

आपेक्षिक वेग किसी एक वस्तु के वेग को दूसरी गतिशील वस्तु के सापेक्ष वर्णित करता है। यह दोनों वस्तुओं के वेगों का अंतर होता है।

परिभाषा: वस्तु B के सापेक्ष वस्तु A का आपेक्षिक वेग निम्न द्वारा दिया जाता है: $$ \vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B $$

समतल में गति

समतल में गति में द्वि-आयामी गति शामिल होती है और सदिश घटकों का उपयोग करके इसका विश्लेषण किया जा सकता है, आमतौर पर गति को x और y घटकों में विभाजित करके।

प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेप्य गति किसी वस्तु की हवा में फेंके या प्रक्षेपित किए जाने पर गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति को संदर्भित करती है। यह एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती है और क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर घटकों दोनों के लिए वेग समीकरणों का उपयोग करके विश्लेषित की जा सकती है।

4.1 क्षैतिज तल पर प्रक्षेप्य गति

जब कोई प्रक्षेप्य क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसकी गति का निम्न प्रकार विश्लेषण किया जा सकता है:

• क्षैतिज गति: एकसमान वेग (कोई त्वरण नहीं)
• ऊर्ध्वाधर गति: गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित गति

मुख्य सूत्र

महत्वपूर्ण समीकरण

• किसी भी समय वेग: $$ \vec{v} = u\cos\theta \hat{i} + (u\sin\theta - gt) \hat{j} $$
• किसी भी समय स्थिति:
  $$ \vec{r} = (u\cos\theta)t \hat{i} + \left(u\sin\theta t - \frac{1}{2}gt^2\right) \hat{j} $$

4.2 झुके हुए तल पर प्रक्षेप्य गति

जब कोई प्रक्षेप्य झुके हुए तल पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो गति का विश्लेषण झुकी हुई सतह के सापेक्ष किया जाता है।

मुख्य सूत्र

4.3 ढलानदार सतह पर प्रक्षेप्य गति

जब कोई प्रक्षेप्य ढलानदार सतह पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो विश्लेषण में गति को ढलान के समानांतर और लंबवत दिशाओं में वियोजित करना शामिल होता है।

मुख्य सूत्र

सारांश

सदिश का वियोजन

• एक सदिश को उसके घटकों में विघटित किया जा सकता है, आमतौर पर x और y अक्षों के अनुदिश।
• यह दो आयामों में गति के विश्लेषण में सहायक होता है।

आपेक्षिक वेग

• आपेक्षिक वेग किसी एक वस्तु के वेग को दूसरी गतिशील वस्तु के सापेक्ष वर्णित करता है।
• यह दोनों वस्तुओं के वेगों का अंतर होता है।

परिभाषा: वस्तु B के सापेक्ष वस्तु A का आपेक्षिक वेग निम्न द्वारा दिया जाता है: $$ \vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B $$

समतल में गति

• समतल में गति में द्वि-आयामी गति शामिल होती है और सदिश घटकों का उपयोग करके इसका विश्लेषण किया जा सकता है, आमतौर पर गति को x और y घटकों में विभाजित करके।

प्रक्षेप्य गति

• प्रक्षेप्य गति किसी वस्तु की हवा में फेंके या प्रक्षेपित किए जाने पर गुरुत्वाकर्षण के अधीन गति को संदर्भित करती है।
• यह एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती है और क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर घटकों दोनों के लिए वेग समीकरणों का उपयोग करके विश्लेषित की जा सकती है।

चित्र और आरेख

चित्र 1: क्षैतिज तल पर प्रक्षेप्य गति

कैप्शन: क्षैतिज तल पर प्रक्षेप्य गति दर्शाने वाला आरेख।

चित्र 2: झुके हुए तल पर प्रक्षेप्य गति

कैप्शन: झुके हुए तल पर प्रक्षेप्य गति दर्शाने वाला आरेख।

निष्कर्ष

भौतिकी में द्वि-आयामी गति का विश्लेषण करने के लिए समतल में गति और प्रक्षेप्य गति की समझ आवश्यक है। सदिशों को वियोजित करके और सही समीकरणों को लागू करके, आप गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में प्रक्षेप्यों के प्रक्षेपवक्र, परास और उड़ान के समय का अनुमान लगा सकते हैं।

अभ्यास प्रश्न

##### एक पिंड को वेग $v_{1}$ से बिंदु $A$ से प्रक्षेपित किया जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। उसी समय, एक अन्य पिंड को $B$ से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर वेग $v _{2}$ से प्रक्षेपित किया जाता है। बिंदु $B$ उच्चतम बिंदु के ठीक नीचे स्थित है। दोनों पिंडों के टकराने के लिए, $\dfrac{v _{2}}{v _{1}}$ का मान होना चाहिए 1. [ ] 2 2. [x] 0.5 3. [ ] $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ 4. [ ] 1 ##### एक व्यक्ति 100 m की क्षैतिज दूरी से एक पक्षी पर बंदूक निशाना लगाता है। यदि बंदूक गोली को $500 \ \mathrm{ms}^{-1}$ की चाल प्रदान कर सकती है, तो पक्षी के ऊपर कितनी ऊँचाई पर उसे बंदूक निशाना लगाना चाहिए ताकि वह उसे मार सके? (लें, $g=10 \ \mathrm{ms}^{-2}$ ) 1. [ ] 10 cm 2. [x] 20 cm 3. [ ] 50 cm 4. [ ] 100 cm ##### एक तोप की गोला का क्षैतिज समतल पर उसी परास $R$ के लिए प्रक्षेपण के दो कोण हैं। यदि $h _{1}$ और $h _{2}$ दो पथों में अधिकतम ऊँचाइयाँ हैं जिनके लिए यह संभव है, तो 1. [ ] $R=\(h h _{2}\)^{1 / 4}$ 2. [ ] $R=3 \sqrt{h _{h} h _{2}}$ 3. [x] $R=4 \sqrt{h h _{2}}$ 4. [ ] $R=\sqrt{h h _{2}}$ ##### एक प्रक्षेप्य को $147 \ \mathrm{ms}^{-1}$ के वेग से क्षैतिज दिशा से $60^{\circ}$ का कोण बनाते हुए ऊपर की ओर फेंका जाता है। तब, वह समय जिसके बाद क्षैतिज दिशा से इसका झुकाव $45^{\circ}$ होगा, है 1. [ ] 15 s 2. [ ] 10.98 s 3. [x] 5.49 s 4. [ ] 2.745 s ##### एक प्रक्षेप्य को वेग $u$ से कोण $\theta$ पर प्रक्षेपित किया जाता है जो दिए गए ऊँचाई $h$ पर दो बार $t _{1}$ और $t _{2}$ पर गुजरता है। तब, 1. [x] $t _{1}+t _{2}=T$ (उड़ान का समय) 2. [ ] $t _{1}+t _{2}=\dfrac{T}{2}$ 3. [ ] $t _{1}+t _{2}=2 T$ 4. [ ] $\sqrt{t _{1} \bar{t} _{2}}=T$ ##### एक कण को क्षैतिज से $60^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है जिसकी गतिज ऊर्जा $K$ है। उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा है 1. [ ] $K$ 2. [ ] शून्य 3. [x] $K / 4$ 4. [ ] $K / 2$ ##### 10 m ऊँची इमारत की छत पर खेल रहा एक लड़का एक गेंद को $10 \mathrm{ms}^{-1}$ की चाल से क्षैतिज से $30^{\circ}$ के कोण पर फेंकता है। फेंकने वाले बिंदु से कितनी दूर पर गेंद जमीन से 10 m की ऊँचाई पर होगी? (लें, $g=10 \mathrm{ms}^{-2}, \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ) 1. [ ] 5.20 m 2. [ ] 4.33 m 3. [ ] 2.60 m 4. [x] 8.66 m ##### जमीन से $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित एक गेंद सामने की दीवार को बस स्पर्श करती है। यदि प्रक्षेपण का बिंदु दीवार के पाद से 4 m दूर है और गेंद दीवार के दूसरी तरफ 6 m दूर जमीन पर टकराती है, तो दीवार की ऊँचाई है $\rightarrow$ JEE Main (Online) 2013 1. [ ] 4.4 m 2. [ ] 2.4 m 3. [x] 3.6 m 4. [ ] 1.6 m ##### वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए, एक प्रक्षेप्य के उड़ान के समय निर्धारित होता है 1. [x] $u _{\text {vertical }}$ 2. [ ] $u _{\text {horizontal }}$ 3. [ ] $u=u _{\text {vertical }}^{2}+u _{\text {horizontal }}^{2}$ 4. [ ] $u=\(u _{\text {vertical }}^{2}+u _{\text {horizontal }}^{2}\)^{1 / 2}$ ##### एक प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास उसकी अधिकतम ऊँचाई से $4 \sqrt{3}$ गुना है। प्रक्षेपण का कोण होगा 1. [ ] $45^{\circ}$ 2. [ ] $60^{\circ}$ 3. [ ] $90^{\circ}$ 4. [x] $30^{\circ}$