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अध्ययन नोटस: सीधी रेखा की अवधारणाएँ

विषय सूची

1. सीधी रेखा का परिचय
2. रेखा का सामान्य रूप
3. रेखा की ढलान
4. विशेष रेखाएँ
5. रेखा के समीकरण
6. एक बिंदु से रेखा की दूरी
7. रेखा के सापेक्ष बिंदुओं की स्थिति
8. दो रेखाओं के बीच का कोण
9. रेखाओं का कुल
10. प्रमुख अवधारणाओं का सारांश

1. सीधी रेखा का परिचय

एक सीधी रेखा निर्देशांक ज्यामिति में एक मूलभूत अवधारणा है। यह बिंदुओं का समुच्चय है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक विस्तृत होता है और इसे बीजगणितीय रूप से निरूपित किया जा सकता है।

2. रेखा का सामान्य रूप

रेखा का सामान्य रूप निम्न प्रकार दिया जाता है:

$$ Ax + By + C = 0 $$

• A, B, C अचर हैं।
• यह रूप रेखा की ढलान और अवरोधन ज्ञात करने के लिए उपयोगी है।

3. रेखा की ढलान

किसी रेखा की ढलान उसकी ढाल का माप है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

• m ढलान है।
• यदि रेखा क्षैतिज है, तो ढलान 0 होगी।
• यदि रेखा ऊर्ध्वाधर है, तो ढलान अपरिभाषित होती है।

4. विशेष रेखाएँ

क्षैतिज रेखा

• समीकरण: $ y = c $
• ढलान: 0

ऊर्ध्वाधर रेखा

• समीकरण: $ x = c $
• ढलान: अपरिभाषित

5. रेखा के समीकरण

ढलान-अवरोधन रूप

$$ y = mx + c
$$

• m: ढलान
• c: y-अवरोधन

बिंदु-ढलान रूप

$$ y - y_1 = m(x - x_1)
$$

• (x₁, y₁): रेखा पर स्थित एक बिंदु

दो-बिंदु रूप

$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
$$

• (x₁, y₁) और (x₂, y₂): रेखा पर स्थित दो बिंदु

मानक रूप

$$ Ax + By + C = 0
$$

• यह रूप अवरोधन ज्ञात करने और समीकरणों के निकाय को हल करने में उपयोगी है।

6. एक बिंदु से रेखा की दूरी

बिंदु $ (x_1, y_1) $ से रेखा $ Ax + By + C = 0 $ की दूरी d निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

$$ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$

7. रेखा के सापेक्ष बिंदुओं की स्थिति

दो बिंदु $ (x_1, y_1) $ और $ (x_2, y_2) $ तथा रेखा $ Ax + By + C = 0 $ दिए जाने पर, सापेक्ष स्थितियाँ हैं:

• एक ही ओर: यदि $ \frac{Ax_1 + By_1 + C}{Ax_2 + By_2 + C} > 0 $
• विपरीत ओर: यदि $ \frac{Ax_1 + By_1 + C}{Ax_2 + By_2 + C} < 0 $

8. दो रेखाओं के बीच का कोण

यदि दो रेखाओं की ढलानें $ m_1 $ और $ m_2 $ हैं, तो उनके बीच का कोण $ \theta $ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
$$

9. रेखाओं का कुल

किसी दी गई रेखा के समानांतर रेखाएँ

• सभी रेखाएँ जिनकी ढलान समान है $ m $।

किसी दी गई रेखा के लंबवत् रेखाएँ

• ढलानें $ m_1 \cdot m_2 = -1 $ को संतुष्ट करती हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुज़रने वाली रेखाएँ

• बिंदु $ (x_1, y_1) $ से गुज़रने वाली रेखाओं का कुल: $ y - y_1 = m(x - x_1) $

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन से गुज़रने वाली रेखाएँ

• यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन बिंदु से गुज़रने वाली रेखाओं का कुल निम्न है:

$$ L_1 + \lambda L_2 = 0
$$

जहाँ $ L_1 $ और $ L_2 $ दोनों रेखाओं के समीकरण हैं।

10. प्रमुख अवधारणाओं का सारांश

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

सीधी रेखा उन सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित की जाती है जो $ Ax + By + C = 0 $ रूप के रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

किसी रेखा की ढलान उसकी ढाल का माप है और इसे y में परिवर्तन तथा x में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिकलित किया जाता है।

किसी बिंदु से रेखा की दूरी बिंदु और रेखा के बीच की न्यूनतम दूरी होती है, जिसे लंबवत् रूप से मापा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: बिंदु (2, 3) से रेखा 2x + 3y + 4 = 0 की दूरी ज्ञात कीजिए

$$ d = \frac{|2(2) + 3(3) + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 9 + 4|}{\sqrt{13}} = \frac{17}{\sqrt{13}}
$$

निष्कर्ष

सीधी रेखाओं का अध्ययन निर्देशांक ज्यामिति में आधारभूत है, जो अधिक जटिल ज्यामितीय और बीजगणितीय संबंधों को समझने के लिए आधार प्रदान करता है। ढलान, रेखाओं के समीकरण और बिंदु से रेखा की दूरी जैसी प्रमुख अवधारणाएँ गणित और संबंधित क्षेत्रों में आगे के अध्ययन के लिए आवश्यक हैं।